Une
théorie des modèles de René
Thom
Comment l'utiliser en SVT ? (en
travaux 2005-2006)
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Projet:
Modéliser
un être vivant,
ou le comportement d'un groupe d'êtres vivants, ou un
organe, ou une cellule...
... à l'aide de la théorie
générale des modèles de René
Thom
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Voici quelques pistes de
compréhension de la théorie des modèles
de René Thom. J'assume les incompréhensions et
inexactitudes mais je serai reconnaissant qu'on me les
signale.
Une source principale, l'intégrale des
œuvres de Thom publiée sous forme d'un CR-Rom
à commander sur le site de l'IHES:
http://www.ihes.fr/ jsp/site/ Portal.jsp?
page_id=217.
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Un article
relativement accessible:
La
théorie des catastrophes, Ivar
Ekeland, La Recherche, n°81, septembre 1977,
volume 8, pp 745-754. Vu
la difficulté que j'ai eue pour en obtenir
une
copie je la mets
temporairement à la disposition des
collègues.
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Remarques :
Le travail de Thom est anthropomorphique, comme il le
revendique lui-même, ce qui est à mon avis une
constante de toute connaissance humaine. On ne peut pas lui
en faire le reproche.
Le travail de Thom fait appel à la philosophie de
façon claire et ouverte (Aristote et Platon sont ces
références récurrentes). La profondeur
des concepts énoncés autorise une
généralisation, que Thom a esquissée.
Dans ce cas, qu'importe le chemin suivi si la
compréhension est au rendez-vous ! Je pense
personnellement que la philosophie est souvent un excellent
raccourci pour celui qui cherche à comprendre pour
vivre (je vis de la biologie... à mon niveau
d'enseignant) et non pas uniquement pour augmenter son
savoir.
Thom utilise les mathématiques les plus rigoureuses
qui soient, élémentaires d'après
certains - Thom est le premier à le dire - mais qui
malheureusement rebuteront ceux qui ont choisi des
études de sciences naturelles et pour lesquels trop
souvent les maths ne sont qu'une langue
étrangère (j'en suis particulièrement
conscient, n'ayant acquis des rudiments, vite oubliés
faute de pratique, qu'en classe préparatoire).
Après bien des années de SVT, il est logique
que j'en vienne à remettre en cause les fondements de
ma discipline. Et c'est alors que j'ai découvert
d'autres mathématiques, pas forcément plus
accessibles, mais plus solides que les quelques
éléments d'une biologie théorique
inavouée. Les mathématiques sont, selon Thom,
« le langage théorique universel », et
j'espère, pour tous, une garantie de la rectitude
totale d'intention de tout scientifique qui les utilise. On
dit parfois que les mathématiques sont «
neutres » du point de vue éthique; il
faudrait plutôt dire « vraies » ou «
bonnes » puisqu'il s'agit de finalité. Pour ceux
qui ne comprennent pas cette rectitude d'intention et qui
parfois se réclament d'une nécessaire
falsifiabilité (selon Popper), tout à fait
légitime (mais mal comprise, je crois, car ce n'est
pas sur un relativisme que Popper se fonde, mais bien sur
une confiance toujours renouvelée en l'homme), je
renvoie à un article de Mariano ARTIGAS sur Popper
particulièrement clair : The Ethical Roots of Karl
Popper's Epistemology, disponible à l'adresse
http://www.nd.edu/Departments/Maritain/ti/artigas.htm.
Je recommande aussi un témoignage
de Marc Chaperon sur
l'histoire de la théorie des catastrophes :
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1 -
Un être vivant c'est une forme vivante.
idée
n°1: la notion intuitive de forme
géométrique matérielle usuelle peut
être étendue à tout processus,
même du vivant
Idée n°2 : la
géométrie et les outils de
l'analyse mathématique deviennent le
langage universel de compréhension du
vivant
2
- la vie est un travail
1er principe de
cinématique du vivant:
les
êtres vivants sont des formes stables
1er
principe de dynamique vivante:
les
systèmes vivants sont stables
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pages complémentaires
plus mathématiques
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éléments
mathématiques
(Attention
! cette page
contient des applets java tournant avec geogebra.jar qui
pèse environ 1Mo et doit être
téléchargé ; c'est donc une page
longue à télécharger).
modèles
continus en SVT
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1 -
Un être vivant c'est une forme
vivante.
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Idée
n°1:
la notion intuitive de forme
géométrique matérielle usuelle peut
être étendue à tout processus,
même du vivant
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1ère
étape:
un objet c'est une forme,
au sens usuel, comme figure (matérielle) dans
l'espace usuel à 3 dimensions (x, y, z). Cette forme
est générée par
morphogenèse
et
considérée comme stable
(dans son être, dans sa substance).
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La
morphogénèse c'est la genèse
d'une forme vivante. À partir d'une autre forme,
c'est la génération telle qu'elle est
actuellement décrite pour toutes les espèces
vivantes puisque l'on rejette toute génération
"spontanée" d'une forme à partir de rien.
D'une façon encore plus générale on
peut aussi parler d'émergence ou
d'innovation (voir
par exemple: René Thom, (1992f10)
L'émergence des structures. Plenary session of
the pontifical Academy of Sciences, 27-31 octobre 1992. In
The Emergence of Complexity in Mathematics, Physics,
Chemistry, and Biology, B. Pullman éd., Pontificae
Academiae Scientiarum Scripta Varia, 89, pp. 43-64. T22/92.
(19 novembre 1992).
Un être vivant c'est d'abord une forme,
matérielle, dans l'espace courant à 3
dimensions, perçue habituellement par le sens le plus
développé chez l'homme: la vision. Le
principal caractère d'une forme c'est sa
stabilité, malgré d'éventuelles
déformations; ce qui est un point central de la
biologie (une aporie fondatrice comme dirait
Thom - ne pas oublier que le livre fondateur de Thom a pour
titre: Stabilité structurelle et
morphogénèse). Cette forme peut être
décrite géométriquement. La
géométrie est une branche des
mathématiques qui étudie les formes dans
l'espace; c'est-à-dire qu'elle s'intéresse
à l'espace de tout un chacun (à trois
dimensions).
Mais les individus sont multiples et les formes beaucoup
moins nombreuses. On peut comparer intelligemment des formes
(et les faire dériver les unes des autres dans une
théorie évolutive, ce que l'on ne peut faire
des individus...).
Lorsque l'on cherche à nommer ce qui est stable du
point de vue de l'être, malgré les changements,
lorsque l'on recherche l'universel dans les
êtres vivants on utilise aussi les mots de structure
ou encore d'espèce qui désignent aussi la
forme sous différents aspects.
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Pour ceux
que la philosophie ne rebute pas il s'agit de la
forme, au sens
d'Aristote. L'étant (l'être
vivant ici) est un composé (dit
hylémorphique) de
matière (le continu qui
résiste au changement - attention cette materia
prima ne s'identifie que partiellement à la
matière des chimistes, elle est puissance informe
(une matière sans bord, sans discontinuité,
non individualisée... ) alors que la matière
chimique est déjà un objet composé de
matière et de forme (imaginez de la pierre sans
limite... ou de l'eau... le contenant, bords et
quantité participent de la forme)) et de
forme (qui est le point
d'arrivée du mouvement de génération
à partir de la privation de forme). En biologie les
formes sont aussi les espèces mais cette fois
au sens classificatoire, le genre (pas
forcément au sens Linnéen) étant le
continu.
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2ème
étape:
pour rendre compte du mouvement
et du
changement
(qui
caractérise non pas l'être mais les accidents):
évolution de la forme dans la quatrième
dimension - le temps -, on ajoute une
cinématique
et une
dynamique.
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Le temps forme la
quatrième dimension de notre espace de vie. Il faut
donc, en plus de la géométrie une
cinématique qui est la science des corps en
mouvement (des corps qui changent de coordonnées dans
l'espace au cours du temps). Enfin, comme les formes se
déforment avec le temps, il faut une dynamique
qui décrive ces transformations au cours du
temps.
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Le ballon de foot est un objet matériel en forme de
sphère.
Il remplace dans cette illustration, une FORME VIVANTE,
moins visuelle car moins simple.
quelques formes simples
des êtres vivants:
boules (sphères) ; bâtonnets ; filaments ;
plans (ailes) ....
mais il y a beaucoup plus de formes complexes,
ramifiées, avec des expansions.
quelques
verbes associés à des dynamiques ou à
des cinématiques :
s'allonger, croître, grandir, diminuer, mourir
(catastrophe), s'accoler-s'unir (catastrophe) , migrer,
circuler...
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3 ème
étape:
la forme, au sens de René Thom, comme figure
géométrique d'un
processus
(matériel ou
énergétique ou informationnel) dans un espace
de dimension pouvant allant jusqu'à l'infini avec une
dynamique et une cinématique pour décrire les
variations en fonctions du temps.
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L'idée de Zeeman est
que l'on peut décrire de façon RIGOUREUSE
(donc) MATHÉMATIQUE, tous les processus, même
du vivant, à l'aide de formes
géométriques (si j'ai bien compris je crois
qu'au départ Thom s'était limité aux
formes dans l'espace euclidien et que c'est Zeeman qui a eu
l'idée d'étendre la théorie).
Même si, l'être vivant ne peut pas être
décrit complètement, à moins de
prendre un espace de dimension infinie.
Dans la pratique on peut presque limiter les MODÈLES
à des espaces de dimension 4, avec le temps comme
4ème dimension.
Le système vivant, dans l'analogie proposée
par Zeeman est comparable à une boîte
noire des cybernéticiens (un système dont
les mécanismes internes ne sont pas accessibles). On
peut agir sur des paramètres externes ou
entrées qu'il nomme les variables de l'espace de
contrôle; les morphologies étant les sorties du
système. Zeeman n'hésite pas à nommer
"causes" les entrées et
"effects"(effets en français) les sorties.
Mais attention ce n'est pas la causalité au sens
philosophique (voir page
sur les 4 causes d'Aristote)
- cette causalité repose sur des entités qui
sont cachées dans la boîte noire - mais ce que
Zeeman appelle "cause" c'est l'action de l'homme qui
perturbe le système vivant lors d'une
expérience. (Ces
paramètres de contrôle sont vraiment ceux de
l'expérience mais la théorie des
modèles peut très bien accepter des
paramètres non opérables, mais qui ne feront
pas ici l'objet d'une
description).
Les paramètres peuvent être très
variés en fonction des processus que l'on
désire décrire : par exemple des
paramètres comme, la température, le pH, la
pression, la teneur en dioxygène....bref, tous les
paramètres expérimentaux QUANTITATIFS
classiques mais aussi des paramètres
QUALITATIFS (non moins expérimentaux (au sens
du domaine de l'expérience sensible) mais dont
la description scientifique n'est pas toujours simple) comme
la forme (voir l'exemple
ci-dessous: passage
de la levure Candida albicans d'une forme
filamenteuse (pseudomycelium) à une
sphère (chlamydiospore)...), la couleur
(la couleur d'un objet dépend de longueur d'onde de
la lumière reçue par l'observateur mais la
couleur d'une spore par exemple dépend à la
fois de paramètres internes et externes qu'il est
très difficile de quantifier), le comportement
(agressivité, passivité...)....
Un point catastrophique c'est un point de
discontinuité. L'exemple donné par Thom est
une image : lorsque l'on courbe progressivement une feuille
de papier et qu'elle se plie brusquement; les points du pli
forment un ensemble (ce que l'on appelle un
"fermé") de points catastrophe ou une
catastrophe qui s'opposent aux points réguliers
(non pliés) de la feuille qui forment un "ouvert". Ce
que l'on a appelé la théorie
des catastrophes
c'est un générateur de
modèles.
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sorties
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Boîte
noire = système vivant
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la
correspondance entrées-sorties (=
caractéristique
du système vivant) est
représentée comme un
nuage de points de l'espace produit
Rr x Rn
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morphologies
ou
comportements observés
(variables
internes)
variation
rapide
ordre local de
compréhension)
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espace
euclidien de dimension n :
Rn
(ouvert
de Rn)
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espace
euclidien de dimension r :
Rr
(ouvert
de Rr)
|
variables
(ou paramètres) de contrôle (ou
externes)
espace
de contrôle
variation
lente (ordre supérieur
de compréhension où les variations
sont en quelque sorte
moyennées)
|
entrées
|
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La fonction vivante (lien
entre les entrées et les sorties) est
considérée par le mathématicien comme
un cas d'application (simplifiée pour pouvoir
être étudiée
géométriquement JUSQU'À RETOMBER SUR
DES FONCTIONS ANALYTIQUES);
Le système vivant est considéré
notamment comme un potentiel* qui tend
toujours à se stabiliser à une valeur minimale
(c'est une
hypothèse de robustesse ou de stabilité que
l'on retrouve dans tous les systèmes
naturels). Les
potentiels sont alors décrits mathématiquement
à l'aide de conflits
d'attracteurs**.
Le graphe ci-dessus,
caractéristique du système vivant, est donc
considéré comme le «lieu des minima
d'un potentiel V(x,y...,u,v...)».
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*un potentiel c'est
une fonction qui décrit une capacité en
puissance dans un espace (champ de potentiel)...
** un attracteur
généralise celle de point d'équilibre
stable (i.e. attractif). Intuitivement, un attracteur A de X
est un régime asymptotique stable. C'est un
ensemble fermé, X-invariant et indécomposable
pour ces deux propriétés (i.e. minimal) qui
attire (i.e. qui « capture »
asympotiquement) toutes les trajectoires issues des points
d'un de ses voisinages. Le plus grand voisinage de A, B(A),
ayant cette propriété s'appelle le bassin de
A. Dans les cas simples, les attracteurs auront une
structure topologique simple (point attractif ou cycle
attractif), seront en nombre fini et leurs bassins seront de
« bons » domaines (de forme simple)
séparés par des séparatrices. Mais
cette image est par trop optimiste car :
- les attracteurs peuvent
être en nombre infini ;
- les bassins peuvent
être intriqués les uns dans les autres de
façon inextricable;
- les attracteurs peuvent avoir
une topologie très compliquée (attracteurs
dits « étranges »). (EU
article forme - Jean Petitot)
La théorie des catastrophes
élémentaires permet de représenter
l'ensemble des discontinuités
(catastrophes)
du système dans les cas les plus
simples
(fonctions lisses à variables réelles)
sur
l'espace-temps R4. Ces discontinuités sont
rapportées à des bifurcations (disjonction ou
réunion) d'attracteurs.
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>>>éléments
mathématiques sur la TC
(page
complémentaire)
....
pour des explications un peu plus
détaillées et des constructions
élémentaires du niveau des classes de
1èreS et Terminale S.
Attention
! elle
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« Moyennant une
hypothèse de caractère général,
la « convention de Maxwell
» (qui exprime en quelque sorte
l'égalité des « potentiels locaux
» relatifs à chaque attracteur** de part et
d'autre de la séparatrice) il est possible de montrer
que ces surfaces séparatrices ne présentent
qu'un petit nombre de singularités stables, toujours
les mêmes (ceci, à tout le moins, dans le
cas où la dynamique locale est une dynamique de
gradient X = grad V). En ce cas, j'ai dressé la
liste complète de ces singularités, qui sont
autant de « catastrophes
élémentaires » sur
l'espace-temps R4. En effet, ces
singularités apparaissent lorsque la dynamique locale
X = grad V est elle-même dans une situation «
critique », par exemple lorsqu'un attracteur A est
détruit, ou se divise en plusieurs attracteurs
(phénomène que Henri Poincaré a
appelé la « bifurcation »). On peut faire
le tableau de toutes les singularités du potentiel V
qui se présentent de manière structurellement
stable sur R4, et donner le modèle
algébrique correspondant des surfaces de catastrophe.
À titre indicatif, en voici la liste :
- (i). Le
pli. Destruction d'un attracteur, et
capture par un attracteur de potentiel
moindre.
- (ii). La
fronce. Bifurcation d'un attracteur en deux
attracteurs disjoints. Ceci engendre en Hydrodynamique ce
qu'on appelle la catastrophe de Riemann- Hugoniot
(formation d'une onde de choc à bord
libre).
- (iii). La
queue d'aronde. Une surface «
front d'onde » se creuse en un sillon dont le fond
est le bord d'une onde de choc. Le blastopore dans la
gastrulation des Amphibiens en fournit un exemple
probable en Embryologie.
- (iv). Le «
papillon ». Cette
singularité du sixième ordre en V se
traduit par l'exfoliation, le « cloquage »
d'une onde de choc à bord libre.
- (v).
L'ombilic hyperbolique. Il s'agit de
la singularité présentée par le
crêt d'une vague sur le point de
déferler.
- (vi).
L'ombilic elliptique ou le «
poil ». Cette singularité se présente
comme l'extrémité d'un « piquant
», sorte de pyramide effilée à base
triangulaire.
- (vii).
L'ombilic parabolique. Transition
entre ombilic elliptique et hyperbolique ; il se
manifeste sous la forme en champignon fréquemment
présentée par un jet qui
brise.
Ces trois
dernières singularités sont associées
à des singularités du potentiel V d'un type
plus compliqué (point de « corang » deux) ;
elles dirigent, en Hydrodynamique, la morphologie du
déferlement ; en Biologie, très
vraisemblablement, elles dirigent l'organogenèse des
processus de capture (phagocytose chez les Unicellulaires)
et de la sexualité (formation et émission des
gamètes).(in
Une théorie dynamique de la
morphogenèse, 1966, René Thom,
1966f1.pdf, Article édité in Towards a
theoretical Biology I, 1966, C. H.Waddington editor.,
Univ. of Edimburgh Press, éditeur, p. 152-179.
Réédité in Modèles
Mathématiques de la Morphogenèse (MMM1), 1974,
p. 252-288, comme chapitre 12. Réédité
in MMM2, 1980, p. 9-35, comme chapitre 1
)»
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|
Remarque
*V. I. Arnold et son école ont
montré que la classification des singularités
suivant la « modalité » (ou
nombre de modules) présente une étonnante
richesse de structure: par exemple, les singularités
sans module (dites singularités simples) sont
associées aux groupes de Coxeter An, Dn, E6, E7, E8,
et donc aux solides platoniciens (Arnold, Critical Points
of Smooth Functions) (in EU, 2004,
Singularités des fonctions différentiables
- La théorie mathématique des
singularités et ses applications).
Pour des développements ultérieurs de la TC,
je suis bien en peine de fournir des
références. Si certains osent faire le
reproche à René Thom d'avoir été
un peu court en mathématiques (voir ci-dessous), il
n'en reste pas moins qu'il est non seulement l'inventeur de
la théorie mais un merveilleux vulgarisateur; il
manque actuellement (2005) en France un travail d'un
mathématicien qui s'attache à vulgariser les
nouveaux développements mathématiques de la
TC... pour les biologistes.
(extrait de 1997i.pdf, un inédit que l'on trouve sur
le CD-Rom des œuvres complètes): c'est Thom qui
parle...
« En mathématique pure, mes propres
résultats n'allèrent guère
au-delà de développements limités de
certaines singularités de potentiel. Il fallut la
pertinence de mathématiciens américains
(Milnor) ou européens (théorie du
déploiement universel, Grauert, J. Martinet) pour
sortir la théorie de son marasme initial. Mon seul
apport à la théorie mathématique fut
d'introduire la notion de « déploiement
universel » - corrigé peu après en versel
par les collègues algébristes (Mather). Il n'y
a pas de doute que des mathématiciens
américains (Mather,Milnor), puis soviétiques
(Arnold) ont apporté à la théorie des
singularités des progrès décisifs. La
vision de ces mathématiciens m'a fait comprendre
combien la théorie des singularités a des
origines profondes en mathématiques. C'est la
rencontre de mathématiciens soviétiques comme
Arnold (souvent férocement critique de mes
procédés rustres) qui m'a fait comprendre
à quel point la théorie des
singularités tire son origine de structures profondes
(Polynômes de Dynkin, carquois de Gabriel,
théorie des tresses, immeubles de Tits).
L'intérêt de la T.C. est bien d'avoir
attiré l'attention sur ces théories «
profondes » dont la source reste (pour moi) bien
mystérieuse.»
|
|
|
* une singularité
est un lieu où il se passe quelque chose de
différent d'ailleurs
** un germe de fonction réelle en un point x
est une classe d'équivalence de fonctions
réelles définies en x, pour la relation qui
consiste à confondre deux fonctions lorsqu'elles
coïncident dans un voisinage de x.
*** un déploiement est une famille de
fonctions réelles de n variables d'état
(x,y....) dépendant de r paramètres de
contrôle (u, v, w, t....). « Le
déploiement universel est tout simplement une
manière de « déployer » toute
l'information intrinsèque renfermée en une
singularité » (René Thom, Paraboles et
catastrophes, p 21).
**** le potentiel F est un germe de fonction de
Rn x Rr -> R issu d'un
déploiement d'un germe de fonction de Rn
-> R.
|
|
in stabilite.pdf p 406
- Appendice 2
|
nom des
singularités*
|
centre
organisateur ou germe**
|
déploiement***
universel (potentiel****
standard)
|
|
minimum
simple
|
V =
x2
|
V =
x2
|
|
le pli
|
V =
x3
|
V =
x3 + ux
|
|
la fronce
(catastrophe de Riemann-Hugoniot)
|
V =
x4
|
V =
x4 + ux2 +
vx
|
|
la queue
d'aronde
|
V =
x5
|
V =
x5 + ux3 +
vx2 + wx
|
|
le
papillon
|
V =
x6
|
V =
x5 + ux4 +
vx3 + wx2 +
tx
|
|
l'ombilic
hyperbolique
|
V =
x3 + y3
|
V =
x3 + y3 + wxy -
ux - vy
|
|
l'ombilic
elliptique
|
V =
x3 - 3 xy2
|
V =
x3 - 3 xy2 +
w(x2 + y2) - ux
- vy
|
|
l'ombilic
parabolique
|
V =
x2y + y4
|
V =
x2y +y4 +
wx2 + ty2 -
ux - vy
|
|
Une classification
des potentiels V standard contenus dans la
boîte
noire
(grise ici)
avec
x1 = x et x2 = y,
p1 =u, p2 =v, p3
=w, p4 =t
|
|
n
variables internes
~
sorties
|
x
|
V =
x3 +p1 x
le pli
|
V =
x4 + p1 x2
+ p2 x
la fronce
(A)
|
V =
x4 + p1 x2
+ p2 x + p3
la
fronce
(B)
|
V =
x5 + p1 x4
+ p2 x3 +
p3 x2 + p4
x
le
papillon
|
|
V =
x5 + p1 x3
+ p2 x2 +
p3 x
la queue
d'aronde
|
|
x,
y
|
|
V =
x3 + y3 + p3
xy - p1 x - p2
y
l'ombilic
hyperbolique
|
V =
x2y +y4 + p3
x2 + p4
y2 - p1 x -
p2 y
l'ombilic
parabolique
|
|
V =
x3 - 3 xy2 + p3
(x2 + y2) - p1
x - p2 y
l'ombilic
elliptique
|
|
espace
produit
Rn x
Rr
1¾ n ¾2, r ¾
4
|
p1
|
p1,
p2
|
p1,
p2, p3
|
p1,
p2, p3,
p4
|
r
paramètres
externes
(modifiables par l'expérimentateur ou
mesurables; tous les autres étant
supposés constants)
= paramètres de
contrôle
~ entrées
|
|
|
Les 7
catastrophes élémentaires (du pli à
l'ombilic parabolique) sont expliquées de
façon pédagogique avec des applets Java sur la
page de Lucien Dujardin (http://perso.wanadoo.fr/l.d.v.dujardin/index.html)
Pour des exemples, on peut se référer au livre
de Christopher Zeeman, non traduit en français:
Catastrophe theory, selected papers. Addison-Wesley
publishing company, London, 1977 et désormais
introuvable à l'achat (150 euros en occasion !!!!)
mais il y a probablement de nouveaux développements
(Arnold
par exemple...).
Pour un aperçu des utilisations de la théorie
des catastrophes dans quelques domaines des sciences
expérimentales on peut notamment consulter la page de
Lucien Dujardin (http://perso.wanadoo.fr/l.d.v.dujardin/index.html)
Pour une approche accessible
à tous, voici un exemple lumineux et original par
Lucien Dujardin et extrait de http://pharmaweb.univ-lille2.fr/
apache2-default/labos/ parasitologie/ anglais/
Candida.html
Le modèle:
le changement de
forme pseudomycelium <=> chlamydospore est
modélisé dans un espace à 3 dimensions:
la morphologie est un paramètre INTERNE (qualitatif -
il peut exister des formes intermédiaires -) et les
deux autres dimensions (temps et gradient
d'anaérobiose) sont des paramètres EXTERNES
(quantitatifs et très classiques) qui forment
l'espace de
contrôle.
|
|
Candida albicans est
un unicellulaire eucaryote à paroi. Il peut se
présenter sous plusieurs morphologies toutes pourvues
d'une paroi (voir:
http://pharmaweb.univ-lille2.fr/
apache2-default/ labos/parasitologie/
images/ca1.gif
). La forme levure est
la plus classique et
voisine de celle de Saccharomyces cerevisiae bien
connue des enseignants (mais bien peu savent que cette
levure forme aussi un amas ou thalle filamenteux, par
bourgeonnement rapide, les cellules restant
accrochées les unes aux autres par leur
paroi). La forme en
filament cloisonné (hyphe, mot grec signifiant
"tissu" - par opposition
aux filaments cœnocytiques non cloisonnés
nommés" siphons"; il semble que certains appellent
hyphe tout filament...)
donnant un mycelium (masse
enchevêtrée de filaments pouvant être
très dense comme on peut le voir dans un "champignon"
au sens courant qui est le carpophore ou appareil
reproducteur de l'organisme
mycélien) le
rapproche des mycètes
pluricellulaires (on
classait cette levure dans les Ascomycètes imparfaits
puisque sa phase à méïospore était
inconnue... je ne sais pas ce qu'il en est actuellement). Je
ne sais pas ce recouvre le terme pseudomycelium
employé ci-contre.
La forme spore est une forme unicellulaire à paroi
épaissie et à métabolisme
réduit. Les chlamydospore (du grec
chlamyda = chemise) sont enveloppées avant
leur libération dans un épaississement du
mycélium avec une épaisse paroi. Elles sont
haploïdes.
C'est un hôte habituel
des muqueuses et des cavités du milieu
extérieur internalisé (tube digestif,
cavités génitales...). Elle est habituellement
symbiote saprophyte (se nourrit des déchets
cellulaires) mais peut devenir parasite (candidose dont le
muguet des nourrissons) en se développant à
l'intérieur des tissus (voir ancien
cours d'immunologie).
Quelques observations concernant les culture de Candida
albicans
- tous les
paramètres de contrôle sont reliés
les uns aux autres
- les chlamydospores
apparaissent soudainement dans les
cultures
- les délai de
formation des chlamydospores est relié aux autres
paramètres de culture: densité
d'ensemencement des levures ou anaérobiose par
exemple.
« La
production des chlamydospores semble être un
phénomène qui obéit à la loi du
tout ou rien et fort compliqué notamment parce que
plusieurs paramètres de contrôle jouant en
même temps. De plus ils doivent franchir un seuil et
ce seuil est multidimensionnel. Cette étape de la
morphogenèse de Candida albicans relie donc des
changements continus dans l'environnement à un
brusque changement de forme. Or la théorie des
catastrophes propose un support pour décrire un tel
phénomène. »
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Remarques:
* Cette troisième étape a conduit à un
succès très important de ce que Zeeman a
appelé la Théorie des Catastrophes. Des
critiques venues d'outre atlantique sont alors
arrivées ce qui a conduit Thom, en les acceptant
partiellement, à définir une véritable
théorie de l'analogie dont quelques
éléments sont présentés en
annexe
ci-dessous.
* La Théorie des Catastrophes n'est pas un
modèle global qui rendrait compte de l'ultime
réalité des choses mais bien un méthode
d'élaboration de modèles locaux. La
topologie a cela de passionnant qu'elle étend
facilement par la pensée son objet et qu'il est
facile de passer de l'infiniment petit à l'infiniment
grand. Le travail de Jean-Pierre Luminet (voir par exemple
L'univers est-il infini ?, Jean-Pierre
Luminet, Les dossiers de La Recherche n°21,
novembre 2005, pp 86-89) sur un univers non euclidien
chiffonné fini est évidemment très
attirant pour quelqu'un qui s'efforce, à la suite de
René Thom, « de libérer son
[notre] intuition du maniement des corps solides
dans l'espace euclidien à trois dimensions
R3 au profit de schémas dynamiques
beaucoup plus généraux» (SSM, p 38).
René Thom se méfiait de ce projet: «
Mais on ne peut espérer a priori intégrer tous
ces modèles locaux en une structure globale ; s'il
était effectivement possible d'intégrer tous
ces schémas locaux en une immense synthèse,
l'homme serait fondé à dire qu'il
connaît la nature ultime de la réalité,
puisqu'il n'existerait pas d'autre modèle global
meilleur que celui-là ; je crois, personnellement,
que c'est là une exorbitante prétention;
très vraisemblablement, l'ère des grandes
synthèses cosmiques s'est définitivement close
avec la relativité générale et il est
bien douteux (et sans doute peu utile) qu'on tente de la
rouvrir. » (SSM, p 39) Mais il n'est pas interdit
de rêver et de penser que cet univers chiffonné
pourrait être bien utile pour expliquer les
invariances d'échelle dans le vivant. Et il serait
certainement bien plus facile de trouver une
vérification expérimentale à ces
modèles à l'échelle du vivant
qu'à l'échelle de l'univers.
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plan
Idée n°2
:
la géométrie et les outils de l'analyse
mathématique deviennent le langage universel de
compréhension du vivant
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Pour
comprendre le vivant dans ce sens et l'enseigner aux
élèves il est nécessaire d'approfondir
les bases scolaires de mathématiques des enseignants
de SVT et de favoriser les liens avec les collègues
mathématiciens. J'y travaille d'arrache pied.
On peut sans aucun doute s'appuyer sur le travail
déjà très développé par
et/ou pour les physiciens.
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>>>
Modèles continus en SVT
(page
complémentaire donnant des
définitions
et des explications sur le continu en
SVT).)
Le
générateur de modèles catastrophiques
permet de
réintroduire
du
continu
en SVT
alors que la
compréhension des mécanismes biologiques
fait appel habituellement à des modèles
discontinus au sens de discrets
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plan
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2
- la vie est un travail
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En reprenant cette formulation
qui m'est chère
(voir Qu'eest-ce
que la vie ?),
je ne pense pas que cela nuise à la
compréhension de l'œuvre de René
Thom.
Le travail du vivant c'est celui de la cinématique
des formes vivantes et de la dynamique des fonctions.
Les résultats de
la physique, et notamment la définition des travaux
virtuels en mécanique, peuvent être ici
analogiquement éclairants. En physique
l'énergie mécanique est une capacité de
travail, produit d'une force par un déplacement. Elle
est présente sous deux formes: potentielle et
cinétique. En mécanique analytique, dans
l'espace de configuration, les travaux virtuels sont le
produit des forces de liaison (internes) et des forces
appliquées (externes) par le déplacement
infinitésimal.
Les forces du vivant ce sont les fonctions
(voir un essai
d'utilisation dans le cours
de seconde).
Le travail du vivant est donc analogiquement le produit des
fonctions (internes et externes) par le déplacement
infinitésimal (soit autonome soit
expérimental).
On peut alors énoncer deux principes (que Thom a
appliqué à toutes les formes naturelles mais
que je limite aux formes vivantes dans cette
présentation). Thom ramène parfois ces
principes à une seule aporie fondatrice
de stabilité: Expliquer la stabilité de
la forme spatiale des êtres vivants et ce, en
dépit du « turn-over » constant des
molécules qui les constituent. L'origine de la vie
est un autre aspect de cette aporie
(in Thèmes de
Holton et apories fondatrices, 1982, 5. In Logos et
Théorie des catastrophes, Colloque de Cerisy,
7-18 septembre 1982, Jean Petitot (éd.),
Genève, éditions Patiño, 1989, pp.
285-295. Réédité in AL, pp. 468-481,
1982f5.pdf, p 12)
:
1er principe de
cinématique du vivant
les
êtres vivants sont des formes stables (corollaire,
sauf sur l'ensemble des catastrophes, où on
observe une morphogénèse)
1er principe de dynamique
vivante:
les
systèmes vivants sont stables (corollaire: sauf
sur l'ensemble des catastrophes où on observe une
morphogénèse);
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Remarque: un
système est dit stable si son apparence
phénoménologique ne varie pas pour une
déformation assez petite.
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«
Tout comme Cuvier - à ce qu'on dit - reconstituait le
squelette complet d'un fossile à partir d'un seul os,
le mathématicien peut reconstituer une fonction
analytique à partir de ses valeurs au voisinage d'un
seul point (son « germe » en ce point) - par le
processus dit du prolongement
analytique*.
En un certain sens, toute fonction analytique a la
propriété structurale de pouvoir se
régénérer à partir d'un fragment
» (René
Thom, 1992f10.pdf, p 4).
Les fonctions du vivant peuvent, dans un modèle
"thomien" aux hypothèses clairement
énoncées, être étudiées
par prolongement analytique.
Je me suis efforcé
d'utiliser cette formulation dans le cours
de seconde de physiologie de
l'effort et elle est
en cours d'élaboration dans le
cours
de première S sur la
glycémie.
La relation nutritive avec
le milieu (source de matière et d'énergie) est
une voie vers un second principe On distingue ainsi
essentiellement deux
types trophiques
(voir cours de seconde): les allotrophes (qui
consomment les autres, proies vivantes ou mortes) et les
autotrophes (qui se nourrissent seuls en capturant la
lumière et des matières minérales).
Thom écrit que se faisant les organismes
s'identifient à leur proie.
(à
suivre)
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plan
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Annexe:
qu'est-ce qu'un modèle ?
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Le livre majeur de René
Thom sur les modèles est Stabilité
Structurelle et Morphogénèse, qui contient
nombre d'intuitions qu'il développera
ultérieurement. Ce livre date de 1968 (mais
publié en anglais en 1972 et en français en
1975) et porte en second titre: Essai d'une
théorie générale des
modèles.
« ...nous nous
trouvons face à une situation présentant un
caractère surprenant pour l'observateur, du
fait qu'elle évolue d'une manière
imprévisible, il y a quelque chose d'aléatoire
ou d'apparemment indéterminé ou des facteurs
agissant d'une manière non locale - actions à
distance par exemple. On essaye donc de dominer ces
situations à l'aide de la modélisation,
c'est-à-dire en construisant un système
matériel - ou mental- qui simule la situation
naturelle du départ, à travers une
certaine analogie. A ce point on
formule une question sur la situation naturelle et,
à travers l'analogie, on la transfère sur le
modèle que l'on fait évoluer de manière
à en obtenir une réponse »
(Paraboles et Catastrophes, 1983, Flammarion,
p125-126).
« Supposons qu'un
être (ou une situation) extérieur(e) (X)
présente un comportement énigmatique, et que
nous nous posions à son sujet une (ou plusieurs)
question(s) ( ˆQ). Pour répondre à cette
question, on va s'efforcer de «modéliser »
(X) ; c'est-à-dire, on va construire un objet
(réel ou abstrait) (M), considéré comme
l'image, l'analogue de (X) : (M) sera dit le
«modèle » de (X). Le modèle (M) est
construit de telle manière que, dans l'analogie (A)
de (X) vers (M), la question ( ˆQ) posée sur (X)
se traduit en une question pertinente (Q) sur (M) ;
autrement dit, on peut poser la question (Q) au
modèle (M) qui y répondra par une
évolution naturelle conduisant à une
réponse (R) : cela s'appelle « faire jouer
» le modèle ; l'analogie (A), prise en sens
inverse, permet alors de déduire de (R) une
réponse ( ˆR) valable pour (X). On comparera
alors cette réponse aux données empiriques...
L'ensemble de ces opérations est résumé
dans le diagramme (D) ci-dessous :»
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texte et figure de R. Thom
extraits de Modélisation et scientificité, P.
Delattre, M. Thellier, éd., Élaboration et
justification des modèles. Actes du colloque, ENS,
9-14 oct. 1978. Tome 1, Maloine-Doin, Paris, pp21-29
(référence du CDRom des œuvres
complètes de l'IHES: 1978f7.pdf
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|
Un modèle est un
système ou une loi analogique
d'un être réel.
|
L'analogie désigne la relation
ontologique entre l'être réel et le
modèle. Mais du point de vue
épistémologique, l'élaboration du
modèle (et donc la signification du
modèle pour l'observateur) repose sur un
processus que Thom définit le plus simplement du
monde à l'aide du Logos: un modèle
c'est une réponse à une
question de l'observateur. Faire
fonctionner un modèle au sens des scientifiques,
c'est le questionner. C'est entendre (voir, toucher, sentir,
mesurer...) la réponse donnée à une
question.
|
Un modèle fournit
à l'observateur une réponse
à une question.
|
|
|
Remarque
personnelle:
on devrait pouvoir assimiler la question
thomienne au problème scientifique (ou
problématique ?), si cher à certains
didacticiens. Quel enseignant de SVT n'a pas
été confronté à l'obstination de
certains didacticiens, dont on diffuse les idées
notamment dans les iufm, à présenter les cours
à partir d'un problème biologique
censé être issu du questionnement de la nature
par le naturaliste (et donc par l'élève
apprenti naturaliste). J'ai toujours pensé que si
cette méthode pouvait être effectivement celle
du chercheur, elle ne s'appliquait que de façon
très impropre à l'élève qui a
plus besoin de connaissances et de formation aux
méthodes, buts qui peuvent être atteints de
bien d'autres manières que celle qui est à la
racine de la méthode scientifique
expérimentale (voir mon
ancien site
lorsque j'étais à l'iufm).
|
|
Le
modèle, comme système ou loi analogique d'un
être réel (X) observé, est construit
contre l'aléatoire (l'apparemment
indéterminé, contre lequel lutte tout
scientifique: Thom dit que le but de toute science est
d'éradiquer l'indéterminé) et le
non local (c'est-à-dire ce qui agit
à distance, par une induction
délocalisée par exemple... et Thom cite le
centriole*).
*Un
modèle est efficace s'il répond à la
question posée.
C'est le problème de la justification du
modèle.
|
Un modèle permet :
OU de prévoir le comportement
de l'être (X)
observé
(c'est l'efficacité pragmatique)
OU de
comprendre le comportement de X,
même si on ne peut pas le
prévoir
(c'est la justification
théorique).
|
Il est donc faux de dire que l'on teste la
validité du modèle (ou plutôt sa
falsificabilité ou encore sa
vérificabilité, ou même sa
scientificité pour des esprits plus positivistes)
lorsque l'on compare le comportement de l'objet réel
au comportement du modèle. Car la raison d'être
du modèle c'est la réponse ^R à la
question ^Q. Le seul comportement vrai est celui de
l'être X. Pour un modèle quantitatif et pour
lequel la question est de prévoir le comportement
quantitatif de X, la validité est bien sûr
réduite à cette prévision mais ce n'est
pas le cas général. La
vérité d'un modèle est dans
l'analogie. Il n'y a pas de degrés, juste des
points de vue.
Pour expliquer cette distinction, Thom parle de
justification a priori et a posteriori.
- La justification d'un modèle a priori
est la convenance analogique (le
modèle est pertinent, acceptable, juste,
légitime, adapté...); cette justification fait
tout l'originalité d'un chercheur; Thom parle de
pari ou de mise. Plus la convenance analogique
est forte moins le pari est élevé.
(On pourrait par exemple
classer 2 analogies usuelles selon un pari croissant:
|
|
pari à mise
minimale
|
pari à mise
maximale
|
fonctionnement local
d'une enzyme
voir
cours 1èreS
|
analogie
clé / serrure
(forme spatiale-fonction locale)
|
analogie
effet enzymatique / morphogenèse sur
l'espace-temps R4
|
phase
cytoplasmique
(voir
page
sur la cellule)
|
phase
liquide
(solutions
très concentrées)
|
phase solide
avec propriétés rhéologiques
thyxotropiques
|
- La justification
a posteriori est celle de
l'efficacité, d'utilité, c'est la convenance
fonctionnelle. C'est la partie la moins hasardeuse, Thom
parle de gain (et reproche ainsi leur faible
valeur (et non leur faible
véracité) aux modèles puisque
celle-ci est déterminée par le rapport entre
les gains et le pari. Comme le pari est à mise
minimale, la valeur est minimale ;
mais
son explication est peu claire car le rapport gain/mise est
d'autant plus faible que la mise est importante, à
gain égal; donc la mise ce serait plutôt
l'inverse de ce qu'il appelle justification a priori
: plus un modèle est justifié moins la mise
est importante; c'est donc le rapport Justification a
priori/Justification a posteriori qui varie dans
le sens recherché).
<---
Voir texte ci-contre.
Le
danger étant que l'on fasse jouer le modèle
sans question clairement
énoncée.
Comme dans l'apprentissage de la démarche
expérimentale, à quoi peut-il servir de faire
une expérience sans hypothèse à tester
? Faire jouer un modèle pour répondre à
des questions que l'on ne se pose pas c'est comme utiliser
un outil pour d'autres usages que celui pour lequel il a
été conçu (ce n'est pas un
enrichissement c'est un détournement, et ici une
perte de signification). Chaque modèle a son propre
niveau d'abstraction et doit répondre à une
question précise.
Remarque:
On peut pousser cette règle assez loin et chercher
à en comprendre l'origine. Il est habituellement
illégitime d'utiliser un modèle
établi à un certain niveau de
réalité (comme par exemple à un
niveau moléculaire) pour essayer de le faire jouer
à un autre niveau (comme par exemple à un
niveau organique embryonnaire pour la mise en place des
organes...). Thom oppose l'ontologie verticale entre les
niveaux d'abstraction et la localité du
modèle et « suggère qu'on
retrouvera un niveau plus pertinent d'ontologie en
pratiquant une théorie horizontale des niveaux
d'organisation». Il conclut en disant:
«il est universellement vrai que la syntaxe
engendre l'ontologie et pas seulement au niveau du code
génétique».
|
|
«... dans la mesure où l'expérimentation
coûte cher, on doit faire appel à des
modèles très bien justifiés a
priori. Mais toute modélisation est un pari. Il y
a une mise et un gain : la mise c'est la justification a
priori, le gain celle a posteriori. Or, dans la
science moderne, les choses se passent exactement dans le
sens contraire : la justification a posteriori est
pratiquement négligeable par rapport à celle a
priori. Puisque l'on veut faire des
expérimentations coûteuses, la machine
expérimentale doit fonctionner à tout prix.
Selon moi, c'est là justement une des principales
causes de la stérilité de la science moderne,
stérilité entendue comme carence de
conceptions théoriques
générales.»
(Paraboles
et Catastrophes, 1983, Flammarion,
p101)
«...la justification « a posteriori » du
modèle : elle résulte de la comparaison
entre la réponse (ˆR) du modèle et la
donnée empirique ; si la réponse (ˆR) est
conforme à l'expérience, le modèle en
sera validé « a posteriori ». Dans
la mesure où l'analogie (A) entre (X) et (M)
apparaît comme peu ou mal fondée, il n'en sera
que plus surprenant si le modèle donne des
réponses satisfaisantes ; en un certain sens, tout
acte de modélisation est un pari, où le
parieur joue du modèle. Le caractère
fécond du modèle apparaît
essentiellement dans le rapport (Justification a
posteriori)/(Justification a priori) (C'est le
rapport Gain/Mise du pari). De ce point de vue, les
modèles de la Science moderne, qui sont en
général très fortement justifiés
a priori (personne n'ose plus parier), ont de ce fait
même un rendement très faible...»
(Modélisation et
scientificité, P. Delattre, M. Thellier, éd.,
Élaboration et justification des modèles.
Actes du colloque, ENS, 9-14 oct. 1978. Tome 1,
Maloine-Doin, Paris, pp 4)
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Je ne suis pas sûr
d'avoir compris mais voici une illustration (b) de ce qui me
semble pouvoir refléter la pensée de Thom (a)
et qui la met en opposition (c) avec des idéalistes
(au sens de non réalistes), ce qui peut par exemple
être le cas de matérialistes, pour qui le
modèle est en fait seule réalité de
connaissance puisque l'être X ne peut être connu
que par l'homme et sa connaissance est inséparable de
l'être de celui qui connaît et de la
connaissance elle-même. On remarquera que selon
l'évolution (b) on a tendance à parler de
modèle ou de système (ce qui va de pair avec
un certain réalisme) alors qu'en (c), le terme de
lois est plus approprié (les lois sont bien des
modèles analogiques des phénomènes
observés), terme qui s'accommode bien d'un certain
idéalisme.
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La deuxième partie de
l'intervention de Thom est basée sur la recherche
d'une analogie qu'il qualifie d'ontologique et qui est
basée sur le modèle de système de type
boîte noire (type b de mon schéma) qu'il
emprunte si je ne me trompe à Zeeman puisque c'est
lui qui à partir de SSM a eu l'idée
d'appliquer les principes des modèles catastrophistes
aux systèmes cybernétiques de type
"boîte noire" dont on ne connaît que les
entrées et les sorties (voir La TC, Science ou
Philosophie, 1989f9, in La Recherche... manquant, p 6).
Son propos est, à partir des systèmes de type
boîte noire, de justifier dans le cadre de la TC les
modèles présentés la très forte
analogie que l'on peut atteindre par la méthode
proposée. C'est une véritable ontologie
mathématique qu'il veut démontrer, dans le
cadre de l'exemple proposé.
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plan
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Notes
*
Les centrioles sont constitués en paires de cylindres
courts de 9 triplets de microtubules (associés par
des protéines) disposés perpendiculairement
l'un à l'autre et occupant le centre du centrosome
(chez de nombreux eucaryotes à l'exception notable
des plantes) qui se duplique en même temps que
commence la replication de l'ADN (phase S du cycle
cellulaire). Le centriole fils est
généré par auto-assemblage des
composants protéiques sur un côté du
centriole père, perpendiculairement à ce
dernier. Les deux centrioles d'une paire ne sont pas
identiques de par leur position mais aussi de par leur
morphologie et leur fonction. Chez les
vertébrés, le centriole fils est souvent
capable de générer un cil non mobile de
fonction inconnue. Chez la Paramécie on a
montré que l'orientation des corpuscules basaux,
homologues des centrioles, déterminait l'orientation
des rangées de cils et du cytosquelette sous-jacent.
Des greffes (de ?) ont permis de modifier l'orientation de
plusieurs rangées de cils qui battent alors dans un
sens opposé à celui des rangées
bordantes, ce qui rend impossible le déplacement
synchronisé de la cellule. Ces motifs sont
héritables sans modification entre cellules se
reproduisant par reproduction sexuée
(méïose, échange de noyaux et
scissiparité) et asexuée (scissiparité
sans échange de noyaux ni méiose) sur plus de
100 générations. (in Biologie
moléculaire de la cellule, Alberts et al., 1995,
Flammarion, 819 et s.)
retour
texte
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René
Thom, exposé donné à l'Inspection
Académique de Toulon, 20 mai 1992, in CDRom
œuvres complètes 1992i.pdf) (c'est moi qui
souligne)
« Au début du
XVII. siècle, les travaux des mathématiciens
italiens (résolution de l'équation du
troisième degré) introduisent la notion de
polynômes. Stevin et Viète conçoivent
pour la première fois un nombre réel comme un
nombre décimal illimité. De là
résulte l'écriture d'une loi physique comme
une fonction y = f (x), permettant ainsi la formulation d'un
déterminisme strict. Galilée, en comparant le
mouvement de la pierre z lancée vers le haut, qui
monte et redescend, trouve la même équation Z =
z° - 1/2 gt2. Le mouvement forcé
d'Aristote ne se distingue pas du mouvement naturel. Le
mouvement tire son unité de l'individualité de
la fonction polynôme. L'être physique est
défini par la forme mathématique...
Deux siècles plus tard, on définira les
fonctions analytiques, fonctions qui, dotées d'un
développement de Taylor convergent,
déterminent leur valeur en tout point dès
qu'on en connaît le germe autour d'un point via le
procédé du « prolongement
analytique ». Il n'est pas
exagéré de prétendre que la
prédiction quantitative des « Sciences dures
» est toute entière fondée sur l'emploi
du prolongement analytique. En un certain sens, le
procédé galiléen a permis la
récupération de l'accident qui
arrêtait la prédiction « naturelle »
de la physique aristotélicienne.
Ce procédé a donné d'admirables preuves
de sa puissance, surtout au XIX. siècle, pendant
lequel s'est développé tout l'outillage des
fonctions analytiques. Mais le domaine du réel
où joue « l'exactitude déraisonnable des
lois physiques » - selon la belle expression d'E.
Wigner - n'en demeure pas moins conceptuellement
étroit, car elle repose en dernière analyse
sur des symétries d'ampleur cosmique postulées
sur la structure globale de l'espace temps.
Déjà la Mécanique Quantique avait
renoncé au déterminisme au profit d'une
interprétation statistique : la Physique des hautes
énergies n'est rien de plus qu'une
récupération de l'accident de plus en plus
poussée, vers des temps de plus en plus brefs
(10-33cm). Dans la hiérarchie Comtiste des
Sciences : Mathématique, Physique, Chimie, Biologie,
il est bien connu que les dernières de ces sciences,
la Biologie surtout, sont rebelles à la
mathématisation. Mais dès 1890,
l'impossibilité de résoudre le problème
des trois corps avait conduit Henri Poincaré à
développer la « Dynamique Qualitative »,
où l'on se préoccupe moins de calculer les
solutions que de déterminer l'allure globale de
l'ensemble des trajectoires d'un mouvement. En 1903,
Hadamard met en évidence dans un système
déterministe, le phénomène de «
dépendance sensible des conditions initiales »
pour le flot géodésique d'une surface à
courbure totale négative. Duhem montre dans sa «
Théorie Physique » (1906) que ce
phénomène ruine toute possibilité de
prédiction à long terme, bien que le
système soit analytique. Ce fait fut
redécouvert en 1980 grâce à l'emploi des
ordinateurs, et aux développements ultérieurs
de la Dynamique théorique (Smale, Kolmogorov,
Sinai... etc). Aujourd'hui, on espère du « chaos
» une interprétation des
phénomènes à topologie complexe
observés dans les fluides, les transitions de phase
de la matière condensée, la physiologie des
organismes... etc.
Il est probablement prématuré de tirer des
conclusions sur cette entreprise de domestiquer
l'indescriptible. Pour des raisons théoriques,
toutefois, on se rend compte que l'hypothèse des
gradients mise en avant par la théorie des
Catastrophes en 1970 n'était pas sans motivation
sérieuse. Car dans un système
gradient analytique, la
prédictibilité est possible, même
à long terme, et de plus, la théorie des
bifurcations y est mathématiquement complète.
Au contraire, dans un système dynamique
général, la notion même d'attracteur
exige l'observation du système en un temps infini, ce
qui est difficilement réalisable dans l'étude
d'un système concret. C'est pourquoi je pense que
l'étude morphologique des formes récurrentes
dans l'évolution d'un système est un programme
tout à fait raisonnable ; et la considération
des successions de ces motifs peut être
discrétisée et soumise à une analyse
initialement statistique, et ultérieurement
déterministe. Après tout la
Météorologie qu'on prétend «
chaotique » ne procède pas autrement. Et dans
l'examen des interactions entre motifs, régimes
stables locaux, on devrait voir réapparaître
les caractéristiques conflictuelles qui sont celles
de la théorie des catastrophes... C'est du moins
l'idée que - très personnellement - je soumets
à votre réflexion. »
retour
texte
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plan
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