Théorie des modèles de René Thom - Théorie des catastrophes (complément)

 

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Avertissements:


Nota Bene
Dans le modèle de la boîte noire (voir
page principale) qui va rester en toile de fond dans cette page, ne pas oublier que les variables internes inaccessibles sont des paramètres de sortie notés x et y et que les paramètres d'entrée externes et contrôlables sont notés u, v, w et t ou encore a, b, c et d. Ce qui diffère un peu de l'habituelle utilisation de y=f(x) et demande un peu d'attention. Nous utiliserons la lettre F et non la lettre V pour désigner le potentiel, comme dans l'article d'Ivar Ekeland. De façon inhabituelle, F(x) ne désigne pas le résultat observé mais c'est x qui est le résultat, la fonction reste cachée et F n'en est qu'un modèle. Pour "voir" le comportement du système il ne faut pas "regarder" les F(x) mais les x seulement. Les surfaces (qui donnent leur nom à la catastrophe) ou les courbes (projections ou ensemble de bifurcations) représentant les points singuliers de F (points catastrophiques) nous permettent de visualiser les différentes valeurs critiques de x en fonction des paramètres de contrôle (on approche ainsi ce que l'on appelle la structure de l'attracteur (ou des attracteurs): figure mathématique qui explique la stabilité de la fonction). Il ne faut donc pas confondre la forme du potentiel (qui approche la fonction cachée) et la forme de l'attracteur (ou des attracteurs en conflit) qui est représentée par l'ensemble des catastrophes.

* Attention ! les applets sont normalement appelées directement lors du chargement de la page (qui télécharge alors geogebra.jar - environ 1Mo). Sinon rendez-vous sur le site de http://www.geogebra.at/cms/.

*le contenu de cette page (repris principalement de Paraboles et catastrophes, p54s) s'adresse à des collègues de SVT et à des élèves de lycée (de classes préparatoires ou des premières années d'université); il est rédigé par un professeur de SVT et n'est pas destiné à des mathématiciens.
Selon Thom mais avec mes mots :
la théorie des catastrophes n'a que très peu de contenu mathématique (qui se réduit à la théorie des catastrophes élémentaires) mais c'est une méthode générale qui est prête à prendre n'importe quel outil analytique et à le faire sien. Cette page a pour ambition d'aider le lecteur à comprendre ce peu de mathématiques.


Plan

1. De la fonction au potentiel standard
2. Exemple: l'ensemble des points de catastrophe ou des points critiques associé au potentiel standard F = x4 + ux2 + vx
3. Extension à la structure des attracteurs ou des ensembles de bifurcation définissant les 7 catastrophes élémentaires


1. De la fonction au potentiel standard


Exemples (d'après Paraboles et catastrophes, p54s):
Prenons, pour n = 1
(n étant le nombre de paramètres internes, pratiquement 1(fonction en x) ou 2 (fonction en x et y ou en x1 et x2)), la fonction (le germe) h (x) = x3 : un déploiement est, par exemple, F(x, u) = x3 + ux, où r = 1 (r étant le nombre de paramètres externes: 1(avec un unique paramètre u), 2 (avec u et v), 3 (avec u, v et w) ou 4 (avec u, v, w, et t)). Deux courbes ont été tracées ci-dessous avec le programme java gratuit et libre Geogebra ( u = - 0,5 et u = 0,5). On note que pour u négatif on a un maximum et un minimum; pour u nul on a, comme on sait, un point d'inflexion; et pour u positif on n'a plus ni maximum, ni minimum, ni points d'inflexion. Le modèle consiste ici à considérer la fonction h (x) = x3 que l'on perturbe en ajoutant le terme ux.

La stabilité d'une fonction en un point (ou au voisinage d'un point) est définie intuitivement comme la capacité de cette fonction à revenir à ce point après une petite perturbation.

On utilisera ici la notation F pour désigner un potentiel qui est un germe de fonction définie de RnxRr vers R , C à l'origine O et qui constitue un germe h de fonction de Rn en R, C à l'origine O. Ce qui signifie que F dépend des variables internes x1,...xn et des paramètres externes de contrôle u1,...ur avec F( x1,...xn ; 0,... 0)= h ( x1,...xn). Le déploiement universel étant la famille de fonctions réelles des n variables internes x, dépendant de r paramètres u.

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Rechargez la page html pour réinitialiser l'applet.

De façon analogue, toujours pour n = 1, la fonction (le germe) h (x) = x4 perturbée par un terme ux2 donne un minimum pour u > 0 et un maximum (relatif) et deux minima (relatifs) pour u < 0. Pour augmenter les perturbations déplacez (en la sélectionnant) la courbe f(x) dans l'applet ci-dessous. Vous pouvez ainsi supprimer un minimum et le maximum pour u < 0. Enfin vous pouvez ajouter un autre terme de perturbation en vx en sélectionnant la formule de f(x) qui apparaît alors dans une fenêtre de saisie (saisissez par exemple "+ 0.5 x" ou "-0.5 x" puis ENTER et la courbe modifiée s'affiche (attention au point, les espaces n'intervenant pas) pour rester dans le domaine des petites perturbations). Ainsi le déploiement x4+ux2 présentant pour u < 0 deux minima et un maximum est moins stable que le déploiement x4+ux2+vx qui n'a qu'un minimum.

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Si l'on augmente ainsi l'exposant k de xk la fonction devient compliquée et peu stable (tapez par exemple x5 - 0.5 x3 -0.5 x à la place de x4 dans l'applet précédente ; attention les puissances demandent de saisir d'abord la touche "^" puis "touche espace" puis "le chiffre de puissance"; la fonction g(x) modifiée présente alors deux minima et deux maxima, même s'ils sont peu nets à cette échelle - pour changer d'échelle il vous faut le programme complet geogebra qui n'est vraiment pas long à télécharger). On privilégie alors les déploiements « stables », à savoir, pour le dire intuitivement, qui résistent à de petites perturbations. Ainsi le déploiement universel ou potentiel standard pour x3 est x3+ux et pour x4, x4+ux2+vx (voir le tableau ci-dessous).

in stabilite.pdf p 406 - Appendice 2
nom des singularités(1)
centre organisateur ou germe(2)
déploiement(3) universel
(potentiel(4) standard)

minimum simple(5)

F = x2

F = x2

le pli

F = x3

F = x3 + ux

la fronce (catastrophe de Riemann-Hugoniot)

F = x4

F = x4 + ux2 + vx

la queue d'aronde

F = x5

F = x5 + ux3 + vx2 + wx

le papillon

F = x6

F = x5 + ux4 + vx3 + wx2 + tx

l'ombilic hyperbolique

F = x3 + y3

F = x3 + y3 + wxy - ux - vy

l'ombilic elliptique

F = x3 - 3 xy2

F = x3 - 3 xy2 + w(x2 + y2) - ux - vy

l'ombilic parabolique

F = x2y + y4

F = x2y +y4 + wx2 + ty2 - ux - vy

(1) une singularité est un lieu où il se passe quelquechose de différent d'ailleurs
(2) un germe de fonction réelle en un point x est une classe d'équivalence de fonctions réelles définies en x, pour la relation qui consiste à confondre deux fonctions lorsqu'elles coïncident dans un voisinage de x.
(3) un déploiement est une famille de fonctions réelles de n variables d'état (x,y....) dépendant de r paramètres de contrôle (u, v, w, t....).
(4) le potentiel F est un germe de fonction de Rn x Rr -> R issu d'un déploiement d'un germe de fonction de Rn -> R.
(5) le germe stablement équivalent à x2 est appelé germe de Morse; le germe stablement équivalent à x est un germe régulier qui ne présente pas de singularité.

a et b sont modifiables en sélectionnant le point à gauche au niveau de chaque paramètre et en utilisant les touches + et - du clavier pour modifier leur valeur.

Remarque: vous pouvez dans Geogebra (complet), tracer automatiquement la dérivée, les tangentes, déterminer les extrêma.... et tant d'autres fonctionnalités précieuses.


On peut tracer ces potentiels standard dans geogebra et voir leurs variations. On entre d'abord de petites valeurs des paramètres externes (0.5 par exemple) en objets libres, puis la formule du potentiel, en objet dépendant. Ensuite, en sélectionnant le point à gauche au niveau de chaque paramètre, vous pourrez modifier sa valeur à l'aide des touches + et - de votre pavé numérique...(mais vous ne pourrez plus modifier la fonction). Vous pouvez aussi rentrez une formule générale avec tous les paramètres que vous pourrez fixer à 0 pour obtenir toutes les courbes. Pour les courbes en 3D (n=2) il faut utiliser une autre logiciel (j'utilise gnuplot). Voici un exemple d'utilisation de Geogebra pour la fronce.
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Une classification des potentiels F standard contenus dans la boîte noire (grise ici)
avec x1 = x et x2 = y, p1 =u, p2 =v, p3 =w, p4 =t
en vert les noms des 7 catastrophes élémentaires associées aux potentiels standard
n variables internes ~ sorties
x
F = x3 +p1 x

le pli

F = x4 + p1 x2 + p2 x

la fronce (A)

F = x4 + p1 x2 + p2 x + p3

la fronce (B)

F = x5 + p1 x4 + p2 x3 + p3 x2 + p4 x

le papillon

F = x5 + p1 x3 + p2 x2 + p3 x

la queue d'aronde

x, y

F = x3 + y3 + p3 xy - p1 x - p2 y

l'ombilic hyperbolique

F = x2y +y4 + p3 x2 + p4 y2 - p1 x - p2 y

l'ombilic parabolique

F = x3 - 3 xy2 + p3 (x2 + y2) - p1 x - p2 y

l'ombilic elliptique

espace produit

Rn x Rr

1 n 2, r 4

p1
p1, p2
p1, p2, p3
p1, p2, p3, p4
r paramètres externes (modifiables par l'expérimentateur ou mesurables; tous les autres étant supposés constants)
= paramètres de contrôle ~ entrées


2. Exemple: l'ensemble des points critiques associé au potentiel standard F = x4 + ux2 + vx

Gnuplot est LE PROGRAMME GRAPHIQUE 2D ET 3D GRATUIT que j'ai utilisé. Gnuplot est un fichier exécutable UNIX que l'on peut trouver facilement sur le net (travaillant sous Mac OS X j'ai utilisé Gnuplot 4.0.0 ( http://gnuplot.sourceforge.net) avec le terminal graphique AquaTerm (http://aquaterm.sourceforge.net) (la bibliothèque X11 (qui se trouve sur le disque d'installation OSX mais n'est pas installée par défaut) devant aussi être installée).
Une fois décompressé gnuplot se place automatiquement dans ~/cd /../usr/local/bin/ .Il peut être trouvé par la fonction "Rechercher" du Finder avec l'option "visibilité" et "éléments invisibles" cochés. J'ai placé un raccourci vers gnuplot dans le Dock (partie inférieure), ce qui me permet de l'ouvrir facilement. Il ne semble pas s'ouvrir dans Terminal sauf si l'on se place dans le répertoire usr/local/bin/ et que l'on tape "open gnuplot".
Il faut ensuite déterminer une fenêtre graphique par exemple
gnuplot> set terminal aqua (ou (raccourci) gnuplot> set t aqua)


Commandes tapées sous Gnuplot pour obtenir le graphe ci-dessous:
(gnuplot> set hidden3d
gnuplot> set ticslevel 0
gnuplot> set isosamples 100, 100
gnuplot> set grid
gnuplot> set yrange [-10:5]
gnuplot> splot f(x,y)=4*y**3+27*x**2, f(x,y), z=0, z )

Pour étudier un potentiel standard on cherche les points critiques pour lesquels la dérivée première s'annule, c'est-à-dire où le potentiel standard F présente un MINIMUM STABLE OU NON. Utilisons à nouveau le potentiel standard associé à la catastrophe fronce: F = x4 + ux2 + vx. L'ensemble des points critiques est donc formé par les racines de l'équation dF/dx = 0. C'est une équation algébrique du troisième degré 4x3+2ux+v = 0 ou x3+ ax+b = 0 (avec a=u/2 et b=v/4) qui possède au moins une racine réelle et au plus trois racines réelles selon la valeur du discriminant D (D=4a3+27b2). Si D < 0, il y a trois racines réelles distinctes, pour D > 0, il n'y a qu'une racine réelle (et deux complexes conjuguées) et pour D = 0, il y a trois racines réelles mais certaines coïncident (pour D = 0 et a 0 ou b 0, deux racines réelles sont égales et pour D = 0 et a = b = 0, les racines sont toutes trois égales).

Le graphe correspondant à l'équation D(a,b)=0 dans le plan (a,b) est appelé "ensemble de bifurcation" de F. C'est l'ensemble des points (du plan (a,b)) où les "choses changent"; là où la stabilité de F "bifurque" en présentant un ou deux ou trois points de stabilité: ce sont des points de conflit entre régimes stables reliées mathématiquement à des attracteurs (chaque minimum stable, est relié à un attracteur). L'ensemble des points de catastrophe est défini qualitativement par l'ensemble des points de conflit entre attracteurs.
Pour visualiser ses caractéristiques on ne peut pas utiliser Geogebra. Dans Gnuplot on peut afficher la parabole semi-cubique d'équation 4y3+27x2=0 comme l'intersection de la courbe f(x,y)=4*y**3+27*x**2 avec le plan z=0



Donc on peut résumer les caractéristiques du potentiel standard correspondant à la catastrophe fronce déduites de l'étude de ses points critiques par ce tableau:

B est une parabole semi-cubique (définie par D(a,b)=0) dans le plan de contrôle (a,b).
On la décompose en deux branches
B1 et B2.


Le plan (a, b)0 passant par D=0 comprend deux régions correspondant à deux domaines de D(a,b):
-
E, en rouge dans (a,b)0 pour des valeurs positives de D, et
-
I, en vert dans (a, b)0 pour des valeurs négatives de D.


Ensemble de bifurcation de F

Soit un point c de (a,b):
* si
x appartient à E, D > 0 , il n'y a donc qu'une racine réelle C à l'équation x3+ ax+b = 0 et cette racine C est un minimum de F (F = x4 + ux2 + vx). Il n'y a donc qu'un seul régime possible dans la boîte noire.
* si
x appartient à I, D < 0 , il n'y a donc trois racines réelles c1, c2 et c3 pour l'équation x3+ ax+b = 0 dont deux sont des minima (par exemple c1 et c2) et une est un maximum (c3). Il y a donc deux régimes stables en conflit dans la boîte noire.
* si
x appartient à B1 ou B2 (sauf en (0,0)), et donc pour D=0 mais a0 et b0, nous trouvons un minimum et un point d'inflexion. Cette parabole semi-cubique est un ensemble de points de bifurcation ou de points critiques où l'on peut passer brusquement d'un régime stable à un attracteur (E) à un régime stable à deux attracteurs (I).
* en
(0,0), origine de la bifurcation, pour D=0 et a=b=0, c1=c2=c3, il y a un minimum NON STABLE car au voisinage de ce point on passe d'un régime unique stable à deux régimes possibles (stables).

(I) représente l'ensemble de Maxwell de F qui est l'ensemble des valeurs de a pour lesquelles F(x,u,v) présente au moins deux valeurs critiques égales.


Remarque:
la formule générale des racines de l'équation x3+ ax+b = 0 est:

c = (-b/2 + (D/108)**1/2)**1/3 + (-b/2 - (D/108)**1/2)**1/3


Si on complète le schéma précédant avec les potentiels F (dans les cercles) associés à chacun des domaines de la courbe D dans le plan (a,b) on obtient une vue plus claire de la signification des racines de dF/dx=0 (points rouge et point rose avec une barre horizontale).


Ensemble de bifurcation de F (équation D(a,b)=0) et sections particulières de F(x,u,v) (cercles) où x prend des valeurs critiques (u =2a et v =4b)


Lorsque plusieurs minima existent (reliés à plusieurs attracteurs comme en I, B1, B2), y-a-t-il des critères qui permettent de savoir quelle position est privilégiée et donc la PLUS STABLE ?

Deux conventions existent pour résoudre cette incertitude: la convention de Maxwell et la convention de retard.
Dans le premier cas il persiste une incertitude, dans le second elle disparaît.


* convention ou règle de Maxwell, arbitraire mais simple

l'attracteur de potentiel minimal prévaut

Le point stable sera donc celui de potentiel minimal, par exemple c1 si F( c1) < F( c2), dans le cas de deux racines c1 et c2 (domaine I).

La dénomination convention de Maxwell par René Thom vient de l'utilisation d'une règle similaire par Maxwell pour lever l'indétermination en v (volume) de l'équation de Van der Waals: F(p, v)=0 dans l'intervalle de pression (p) où l'on a trois racines réelles en v, ce qui décrit un mélange de phases gazeuses et liquides.

Cette convention conduit à considérer uniquement deux cas où un point peut être catastrophique (attention catastrophique ne veut dire ni instable ni stable, mais c'est un point où "il se passe quelque chose de discontinu sur le fond continu... lorsque l'on fait légèrement varier (on perturbe) les paramètres externes"):
- soit il y a un minimum de potentiel en deux points distincts; x est alors un point de conflit; Dans l'exemple ci-dessus l'ensemble des points de conflit ou strate de conflit ou encore ensemble de la fonction F pour laquelle F(c1)=F(c2), dépend des paramètres a et b, elle a le tracé en pointillé (3) sur la figure.
- soit le minimum de potentiel est unique mais cesse d'être stable: x est un point de bifurcation. Dans l'exemple ci-dessus O est un point de bifurcation. Avec les mots de Thom on peut dire que «la bifurcation engendre la catastrophe ». Cette remarque ouvre une réflexion sur la structure des attracteurs au voisinage du point de bifurcation. En effet le problème pour un expérimentateur qui désire PRÉVOIR le comportement d'un système au voisinage d'un point est de savoir quelle est la géométrie des attracteurs à son voisinage. Or il n'y a pas de réponse simple et certaines morphologies semblent bien avoir des structures simples mais on ne sait pas les justifier actuellement, ce qui fait qualifier par certains la théorie des catastrophes comme non expérimentale. Ce qui n'est pas faux. Mais si sa méthode relève plus de l'analogie que de la démonstration a posteriori, elle n'en est pas moins scientifique (pour une première approche on peut lire l'article d'Ivar Ekeland; vous pouvez aussi vous reporter à la page sur les différents niveaux d'observation du vivant).

Une excellente analogie est celle du modèle mécanique (une bille dans une forme dont la section verticale est celle de F ou encore un modèle hydraulique -comme celui présenté par Ivar Ekeland). Dans le cas de la convention de Maxwell on considère que la bille se situe toujours au point le plus bas (potentiel minimal). Il y a donc bien sûr une incertitude qui n'est pas levée dans le cas où les deux minima sont strictement égaux. On voit encore ici que la connaissance de l'état du système (causalité au sens scientifique d'une causalité efficiente, contenue dans le modèle) ne permet pas de prévoir le comportement du système (indéterminisme).

Vous pouvez voir le code de l'applet: cata3mx.java


Voici une applet (modifiée) de Lucien Dujardin (http://perso.wanadoo.fr/l.d.v.dujardin/index.html) qui présente un modèle qui obéit à la règle de Maxwell: c'est le minimum le plus bas qui est toujours choisi et il y a une incertitude lorsque deux minima sont égaux (cette incertitude n'est pas prise en compte dans le modèle qui choisit l'une des deux racines pour représenter la couleur (morphologie) de sortie). Les trois racines de x3+ ax+b = 0 sont représentées par des traits verticaux rouge et le minimum est représenté par un trait horizontal rouge.
Entrées

(déplacez la souris dans l'espace de contrôle)
(cliquez dans l'espace de contrôle pour démarrer ; rechargez la page si l'applet ne s'affiche pas correctement, afin de réinitialiser celle-ci)

la courbe représente un potentiel
F(x,u,v) = x4+u x2+v x,
qui modélise le comportement de la fonction inaccessible

(les valeurs des paramètres u et v ne sont pas celles affichées (entre -10 et +10) , du fait de contraintes de représentation; la courbe est ici un modèle qualitatif)

u = "normal factor"

Le système vivant est considéré comme une boîte noire (grise ici) dont les fonctions complexes peuvent être approchées (grâce à des simplifications) par un potentiel qu'il minimise.

convention choisie = règle de Maxwell

espace de contrôle

v = "splitting factor" (facteur d'écartement)

x = Sortie = morphologie représentée par une couleur
(c'est le minimum du potentiel qui donne la valeur de sortie de la fonction)


* règle du retard ou du délai parfait (delay law)

L'attracteur le premier atteint détermine la morphologie tant qu'il est stable.

Lorsque qu'un minimum est atteint cette valeur est conservée tant que ce minimum est stable, même si un autre minimum existe, qu'il soit de potentiel inférieur ou égal ou supérieur.

On notera que cette convention conduit à présenter le système comme ayant une mémoire puisque la morphologie de sortie (donc le minimum choisi du potentiel) dépend du chemin suivi pour l'atteindre. Selon le chemin suivi dans l'espace de contrôle (en u,v) on obtient donc des morphologies (x) différentes pour des mêmes valeurs des paramètres u et v (ce que vous pouvez tester par l'applet ci-contre).

Pour l'analogie mécanique (une bille dans une forme dont la section verticale est celle de F ou encore un modèle hydraulique -comme celui présenté par Ivar Ekeland) et dans le cas de la règle du retard, on considère que la bille se situe toujours au premier point stable atteint (sans inertie). La bille ne peut changer de place que si le minimum devient instable et qu'elle peut alors tomber dans un minimum situé plus bas. Il n'y a jamais d'incertitude de position de la bille.


Cette convention conduit à ne considérer qu'un seul cas où un point peut être catastrophique (attention catastrophique ne veut dire ni instable ni stable, mais c'est un point où "il se passe quelque chose de discontinu sur le fond continu... lorsque l'on fait légèrement varier (on perturbe) les paramètres externes"): le minimum de potentiel cesse d'être stable: x est un point de bifurcation.


Voici une applet (modifiée) de Lucien Dujardin (http://perso.wanadoo.fr/l.d.v.dujardin/index.html) qui présente un modèle qui obéit à la règle du retard: lorsque deux minima peuvent être atteints ce n'est pas celui qui est le plus petit qui est choisi mais le premier atteint selon le chemin suivi. Les trois racines ne sont pas représentées ici, seule la racine choisie grâce à la règle du retard est représentée d'un trait vertical de couleur dont la couleur représente la morphologie de sortie du système.
Entrées

(déplacez la souris dans l'espace de contrôle)
(cliquez dans l'espace de contrôle pour démarrer ; rechargez la page si l'applet ne s'affiche pas correctement, afin de réinitialiser celle-ci)

la courbe représente un potentiel
F(x,u,v) = x4+u x2+v x,
qui modélise le comportement de la fonction inaccessible

(les valeurs des paramètres u et v ne sont pas celles affichées (entre -100 et 100), du fait de contraintes de représentation; la courbe est ici un modèle qualitatif)

u = "normal factor"

Le système vivant est considéré comme une boîte noire (grise ici) dont les fonctions complexes peuvent être approchées (grâce à des simplifications) par un potentiel qu'il minimise.

convention choisie = règle du retard (délai parfait)

espace de contrôle

v = "splitting factor" (facteur d'écartement)

x = Sortie = morphologie représentée par une couleur
(c'est le minimum du potentiel qui donne la valeur de sortie de la fonction)

Vous pouvez voir le code de l'applet: cata3rd.java



La catastrophe élémentaire associée au potentiel standard F = x4 + ux2 + vx est la fronce (cusp en anglais) car l'ensemble des points catastrophiques dessine une fronce: elle obéit à l'équation dF/dx = 0 c'est-à-dire à l'équation algébrique du troisième degré 4x3+2ux+v = 0 ou x3+ ax+b = 0 (avec a=u/2 et b=v/4).

Les lignes de commande tapées dans Gnuplot pour obtenir la surface ci-contre (y=p1 et z=p2) sont:
set isosample 100,100
set ticslevel 0
set xlabel "x"
set ylabel "p1"
set zlabel "p2"
set xrange [-0.8:0.8]
set yrange [-0.5:0.5]
set zrange [-0.5:0.5]
splot -4*x**3-2*x*y

On peut fortement améliorer la représentation...

une fronce (cusp) dans l'espace (x, a, b) dessinée par l'ensemble des points de catastrophe de la catastrophe élémentaire associée au potentiel standard F = x4 + ux2 + vx


courbe tracée avec gnuplot (voir ci-contre) :
x et p1 (= 2a = u) sont les axes horizontaux et p2 (= 4b = v) est l'axe vertical


Tracé dans Grapher de la surface
x3 + u x + v = 0

avec x, u et v appartenant à [-1,5; 1,5]

L'application Grapher est contenue dans le système Mac OS 10.4 et permet de tracer d'innombrables courbes en 2D et 3D et les visionner dans l'espace très facilement.

Cette image exportée n'est pas un fichier grapher et ne peut donc êre manipulée dans l'espace.



3. Extension à la structure des attracteurs ou des ensembles de bifurcation définissant les 7 catastrophes élémentaires


Avertissement:
Cette partie est assez difficile pour le professeur de SVT que je suis; je ne suis pas trop sûr de mes explications et je serai reconnaissant que l'on me signale mes erreurs ou incompréhensions (pierre point stouff at libertysurf point fr)

On représente les attracteurs dans ce que l'on appelle l'espace des phases (voir définition dans page complémentaire sur les modèles continus en SVT). On peut aussi représenter la caractéristique du système dans l'espace des morphologies que l'on peut aussi appeller espace des dynamiques (u,v..., x, y...). On ne peut représenter facilement que des espaces de dimension 2 ou plus difficilement 3. Pour la dimension 4, on utilise des sections. Dans un espace de dimension 3 l'attracteur a la forme d'un point, d'une droite, d'une courbe [x=f(u)], éventuellement fermée, ou d'une surface [x=f(u,v)]. (f désigne ici la fonction représentée par le potentiel F ou V).
Pour une discussion plus profonde des régulations en biologie voir René Thom, Vers une typologie des régulations, 1985, 5. In Concepts and Formalizations in the Control of Breathling, J. Demongeot et al. (eds.), Manchester University Press, 1987.


0

Soit une "dynamique" représentée par un potentiel V d'équation

V(x,u)=x0


Cette dynamique n'est pas comptabilisée dans les catastrophes élémentaires car un système naturel qui lui obéit est dépourvu de toute dynamique contrôlable.

La cinétique associée peut être celle d'un oscillateur harmonique non amorti (voir page sur le continu, 3.2 b).

caractéristique dans l'espace des dynamiques


forme de l'attracteur dans l'espace des phases

Dans l'espace (x ,u) , la dynamique est représentée par une droite d'unique ordonnée x0 (équation x(u)=x0). u est un paramètre inopérant. Si u est le temps, la morphologie (x) est constante.


Il n'y a qu'un seul attracteur, c'est le plus simple (et le plus radical) qui soit: un attracteur ponctuel (fixe) (en bleu) dans l'espace des phases (x , dV/dx).


1

La première catastrophe correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel quadratique :

V(x,u) = x3 +ux

dV(x,u)/dx = 3x2+u
dV(x,u)/du = x


Cette dynamique est associée à des cinétiques développées par des oscillateurs harmoniques non amortis (voir page sur le continu, 3.2 a).

Elle ne semble pas vraiment présente dans les systèmes vivants, avec un attracteur aussi stable. Pour être perçu comme stable le système devrait être conservatif (sans "frottement" ou perte d'énergie). Or l'on pense que la plupart des systèmes métaboliques sont dissipatifs. Mais ce point de vue pourrait changer.
Ce système est donc plus intéressant du point de vue dynamique (un puits de potentiel) que du point de vue cinétique (oscillations).

caractéristique dans l'espace des dynamiques


forme de l'attracteur dans l'espace des phases

Dans l'espace des dynamiques (x,u), le potentiel est représenté par un pli.

L'attracteur unique prend la forme d'une droite (ensemble de bifurcation) dans l'espace (x,dV/du).


2

La deuxième catastrophe élémentaire correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel quadratique :

V(x,u, v) = x4 + ux2 + vx

cette fois u et v sont des paramètres opérant sur la forme du potentiel.


Cette dynamique est associée à des cinétiques développées par des oscillateurs harmoniques amortis (voir page sur le continu, 3.2 b).
Je me suis efforcé de présenter ce système dynamique dans la synthèse des protéines avec la spirale polysomiale (
voir cours de 1èreS, la fonction enzymatique, partie 3.2 ). Il y a fort à parier que ce système dynamique est un des plus courants dans les dynamiques "cycliques" de la cellule.

caractéristique dans l'espace des dynamiques

forme de l'attracteur dans l'espace des phases

Dans l'espace des dynamiques (x,u,v), le potentiel est représenté par une fronce.

Deux attracteurs s'affrontent (voir partie 2 ci-dessus).

L'ensemble de bifurcation est une parabole semi-cubique dans le plan de contrôle (u,v,0) dans l'espace des dynamiques (voir ci-dessus).

Variante:
Si l'on introduit un troisième paramètre w , on a toujours une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel quadratique de la forme :
V(x,u, v, w) = x4 + ux2 + vx + w ; cette fois, si u et v sont toujours des paramètres opérant sur la forme du potentiel, w est inopérant (pour l'observer entrer la fonction dans gogebra ou ci-dessous).


3

La troisième catastrophe élémentaire correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel de la forme :

V(x,u, v, w) = x5 + ux3 + vx2+ wx

u, v et w sont des paramètres opérant sur la forme du potentiel. w modifie la pente de la tangente au centre de gravité. Pour visualiser la forme du potentiel utilisez Geogebra ci-dessous par exemple.

Les points critiques où V / x = 0 soit 5x4 + 3ux2 + 2vx+ w = 0 forment une surface représentée ci-contre.
Pour appréhender sa forme
(in Stabilité, p 103) on étudie le discriminant (surface K) de cette équation à partir des points où elle admet une racine triple en x (soit 2V / x2 =0 et 3V / x3 =0; soit 4x3+6ux+2v = 0 et 12x2+6u = 0 soit u = -2x2, v = 9/2x3, et w = 4x4 définissant les points de R3 décrivant une courbe C (u, v, w) qui est l'arête de rebroussement de la surface K).

La forme de la surface des points critiques associés au potentiel V(x,u, v, w) est déduite progressivement des sections faites pour u=constante:
« - Pour u négatif, la section de K par un plan u = -2a2présente deux rebroussements symétriques par rapport à l'axe des v ; comme cette section est l'enveloppe d'une famille de droites à un paramètre x sans droite stationnaire, la courbe de section ne présente aucun point d'inflexion ; la seule forme possible de cette courbe est celle de la
queue d'aronde.
- Pour u positif, il n'y a plus de rebroussements et la courbe de section est une courbe convexe simple. Si l'on part de u = -2a2 et qu'on fasse croître u, le triangle curviligne formé par la queue d'aronde va en se rapetissant et se confond avec l'origine pour u = 0 ; la courbe section a alors un point de courbure infinie à l'origine. On notera que la surface K admet une courbe de self-intersection (algébriquement définie par v = 0, w = u2 /4). Dans un modèle algébrique ou analytique, cette courbe double appartient en entier à la surface K ; par conséquent, pour u positif, la courbe de section de K présente un point double isolé ; une telle singularité n'a en général aucune signification dans nos modèles.» (stabilité, p 103)


in Thom, stabilité, p 104


« Une surface « front d'onde » se creuse en un sillon dont le fond est le bord d'une onde de choc. Le blastopore dans la gastrulation des Amphibiens en fournit un exemple probable en Embryologie. »(1966f1 p7).

« Examinons maintenant s'il peut exister des conflits de régime au voisinage d'une telle singularité; il faut pour cela que l'équation présente quatre racines réelles (sinon, on ne pourrait obtenir deux minima pour V). Il faudra donc se placer à l'intérieur du triangle curviligne de la queue d'aronde pour u<0. Comme l'un des rebroussements de ce triangle définit une catastrophe de Riemann-Hugoniot, on aura dans ce triangle une onde de choc, ligne de conflit entre les deux régimes qui, partant du rebroussement, aboutit en un point du côté opposé. C'est là,comme il est aisé de s'en convaincre, la seule possibilité topologique pour le partage des régimes. Si l'on suit la variation des sections lorsque u décroît, on peut ainsi décrire qualitativement la queue d'aronde. Pour u>0, on a une courbe-pli qui sépare un régime stable du régime vide (pas d'attracteurs); pour u=0, cette courbe présente à l'origine un point de courbure infinie et pour u négatif, il en sort deux rebroussements limitant un triangle curviligne en queue d'aronde. Il apparaît, à l'intérieur du triangle deux régimes séparés par une courbe joignant un des rebroussements au point double ou en un point pli, si on adopte la convention de Maxwell. La queue d'aronde a été depuis longtemps répertoriée en géométrie algébrique ; mais je ne pense pas que sa signification comme singularité stable des fronts d'onde, ait été clairement reconnue jusqu'à présent. On la trouve en Physique, dans la théorie des fronts d'onde dans les plasmas [9] et on l'a redécouverte tout récemment comme singularité des surfaces de Landau associées à certains diagrammes de Feynman. On peut d'ailleurs la réaliser assez facilement en optique géométrique classique comme singularité de caustiques. En embryologie, on proposera au chapitre 9 de considérer les extrémités du sillon blastoporique comme des queues d'aronde. » (in Stabilité, p 104-105)


4

La quatrième catastrophe élémentaire correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel de la forme :

V(x,u, v) = x5 + ux4 + vx3+ wx2 + tx

u, v, w et t sont des paramètres opérant sur la forme du potentiel. Pour visualiser la forme du potentiel utilisez Geogebra ci-dessous par exemple.

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le papillon


Les trois dernières catastrophes sont de corang 2 (admettent deux variables internes) et sont associées à des phénomènes de déferlement, émission de gamètes et autres bourgeonnements....

5

La cinquième catastrophe élémentaire correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel de la forme :

V(x,u, v) = x3 + y3 + wxy -ux -vy

u, v et w sont toujours des paramètres opérant sur la forme du potentiel.

 EN TRAVAUX

l'ombilic hyperbolique

6

La sixième catastrophe élémentaire correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel de la forme :

V(x,u, v) = x3 - 3xy2 + w(x2+ y2) -ux -vy

u, v et w sont toujours des paramètres opérant sur la forme du potentiel.

l'ombilic elliptique

7

La septième catastrophe élémentaire correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel de la forme :

V(x,u, v) = x2y + y4+ wx2+ ty2 - ux - vy

u, v , w et t sont toujours des paramètres opérant sur la forme du potentiel.

l'ombilic parabolique

 


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