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*le contenu de cette page (repris principalement de Paraboles et catastrophes, p54s) s'adresse à des collègues de SVT et à des élèves de lycée (de classes préparatoires ou des premières années d'université); il est rédigé par un professeur de SVT et n'est pas destiné à des mathématiciens.
Selon Thom mais avec mes mots : la théorie des catastrophes n'a que très peu de contenu mathématique (qui se réduit à la théorie des catastrophes élémentaires) mais c'est une méthode générale qui est prête à prendre n'importe quel outil analytique et à le faire sien. Cette page a pour ambition d'aider le lecteur à comprendre ce peu de mathématiques.

1. De la fonction au potentiel standard
2. Exemple: l'ensemble des points de catastrophe ou des points critiques associé au potentiel standard F = x⁴ + ux² + vx
3. Extension à la structure des attracteurs ou des ensembles de bifurcation définissant les 7 catastrophes élémentaires

1. De la fonction au potentiel standard

Exemples (d'après Paraboles et catastrophes, p54s):
Prenons, pour n = 1 (n étant le nombre de paramètres internes, pratiquement 1(fonction en x) ou 2 (fonction en x et y ou en x₁ et x₂)), la fonction (le germe) h (x) = x³ : un déploiement est, par exemple, F(x, u) = x³ + ux, où r = 1 (r étant le nombre de paramètres externes: 1(avec un unique paramètre u), 2 (avec u et v), 3 (avec u, v et w) ou 4 (avec u, v, w, et t)). Deux courbes ont été tracées ci-dessous avec le programme java gratuit et libre Geogebra ( u = - 0,5 et u = 0,5). On note que pour u négatif on a un maximum et un minimum; pour u nul on a, comme on sait, un point d'inflexion; et pour u positif on n'a plus ni maximum, ni minimum, ni points d'inflexion. Le modèle consiste ici à considérer la fonction h (x) = x³ que l'on perturbe en ajoutant le terme ux.

La stabilité d'une fonction en un point (ou au voisinage d'un point) est définie intuitivement comme la capacité de cette fonction à revenir à ce point après une petite perturbation.

On utilisera ici la notation F pour désigner un potentiel qui est un germe de fonction définie de RⁿxR^r vers R , CÉ à l'origine O et qui constitue un germe h de fonction de Rⁿ en R, CÉ à l'origine O. Ce qui signifie que F dépend des variables internes x₁,...x_n et des paramètres externes de contrôle u₁,...u_r avec F( x₁,...x_n ; 0,... 0)= h ( x₁,...x_n). Le déploiement universel étant la famille de fonctions réelles des n variables internes x, dépendant de r paramètres u.

Rechargez la page html pour réinitialiser l'applet.

De façon analogue, toujours pour n = 1, la fonction (le germe) h (x) = x⁴ perturbée par un terme ux² donne un minimum pour u > 0 et un maximum (relatif) et deux minima (relatifs) pour u < 0. Pour augmenter les perturbations déplacez (en la sélectionnant) la courbe f(x) dans l'applet ci-dessous. Vous pouvez ainsi supprimer un minimum et le maximum pour u < 0. Enfin vous pouvez ajouter un autre terme de perturbation en vx en sélectionnant la formule de f(x) qui apparaît alors dans une fenêtre de saisie (saisissez par exemple "+ 0.5 x" ou "-0.5 x" puis ENTER et la courbe modifiée s'affiche (attention au point, les espaces n'intervenant pas) pour rester dans le domaine des petites perturbations). Ainsi le déploiement x⁴+ux² présentant pour u < 0 deux minima et un maximum est moins stable que le déploiement x⁴+ux²+vx qui n'a qu'un minimum.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Si l'on augmente ainsi l'exposant k de x^k la fonction devient compliquée et peu stable (tapez par exemple x⁵ - 0.5 x³ -0.5 x à la place de x⁴ dans l'applet précédente ; attention les puissances demandent de saisir d'abord la touche "^" puis "touche espace" puis "le chiffre de puissance"; la fonction g(x) modifiée présente alors deux minima et deux maxima, même s'ils sont peu nets à cette échelle - pour changer d'échelle il vous faut le programme complet geogebra qui n'est vraiment pas long à télécharger). On privilégie alors les déploiements « stables », à savoir, pour le dire intuitivement, qui résistent à de petites perturbations. Ainsi le déploiement universel ou potentiel standard pour x³ est x³+ux et pour x⁴, x⁴+ux²+vx (voir le tableau ci-dessous).

(1) une singularité est un lieu où il se passe quelquechose de différent d'ailleurs
(2) un germe de fonction réelle en un point x est une classe d'équivalence de fonctions réelles définies en x, pour la relation qui consiste à confondre deux fonctions lorsqu'elles coïncident dans un voisinage de x.
(3) un déploiement est une famille de fonctions réelles de n variables d'état (x,y....) dépendant de r paramètres de contrôle (u, v, w, t....).
(4) le potentiel F est un germe de fonction de Rⁿ x R^r -> R issu d'un déploiement d'un germe de fonction de Rⁿ -> R.
(5) le germe stablement équivalent à x² est appelé germe de Morse; le germe stablement équivalent à x est un germe régulier qui ne présente pas de singularité.

a et b sont modifiables en sélectionnant le point à gauche au niveau de chaque paramètre et en utilisant les touches + et - du clavier pour modifier leur valeur.

Remarque: vous pouvez dans Geogebra (complet), tracer automatiquement la dérivée, les tangentes, déterminer les extrêma.... et tant d'autres fonctionnalités précieuses.

Gnuplot est LE PROGRAMME GRAPHIQUE 2D ET 3D GRATUIT que j'ai utilisé. Gnuplot est un fichier exécutable UNIX que l'on peut trouver facilement sur le net (travaillant sous Mac OS X j'ai utilisé Gnuplot 4.0.0 ( http://gnuplot.sourceforge.net) avec le terminal graphique AquaTerm (http://aquaterm.sourceforge.net) (la bibliothèque X11 (qui se trouve sur le disque d'installation OSX mais n'est pas installée par défaut) devant aussi être installée).
Une fois décompressé gnuplot se place automatiquement dans ~/cd /../usr/local/bin/ .Il peut être trouvé par la fonction "Rechercher" du Finder avec l'option "visibilité" et "éléments invisibles" cochés. J'ai placé un raccourci vers gnuplot dans le Dock (partie inférieure), ce qui me permet de l'ouvrir facilement. Il ne semble pas s'ouvrir dans Terminal sauf si l'on se place dans le répertoire usr/local/bin/ et que l'on tape "open gnuplot".
Il faut ensuite déterminer une fenêtre graphique par exemple
gnuplot> set terminal aqua (ou (raccourci) gnuplot> set t aqua)

Pour étudier un potentiel standard on cherche les points critiques pour lesquels la dérivée première s'annule, c'est-à-dire où le potentiel standard F présente un MINIMUM STABLE OU NON. Utilisons à nouveau le potentiel standard associé à la catastrophe fronce: F = x⁴ + ux² + vx. L'ensemble des points critiques est donc formé par les racines de l'équation dF/dx = 0. C'est une équation algébrique du troisième degré 4x³+2ux+v = 0 ou x³+ ax+b = 0 (avec a=u/2 et b=v/4) qui possède au moins une racine réelle et au plus trois racines réelles selon la valeur du discriminant D (D=4a³+27b²). Si D < 0, il y a trois racines réelles distinctes, pour D > 0, il n'y a qu'une racine réelle (et deux complexes conjuguées) et pour D = 0, il y a trois racines réelles mais certaines coïncident (pour D = 0 et a Ç 0 ou b Ç 0, deux racines réelles sont égales et pour D = 0 et a = b = 0, les racines sont toutes trois égales).

Le graphe correspondant à l'équation D(a,b)=0 dans le plan (a,b) est appelé "ensemble de bifurcation" de F. C'est l'ensemble des points (du plan (a,b)) où les "choses changent"; là où la stabilité de F "bifurque" en présentant un ou deux ou trois points de stabilité: ce sont des points de conflit entre régimes stables reliées mathématiquement à des attracteurs (chaque minimum stable, est relié à un attracteur). L'ensemble des points de catastrophe est défini qualitativement par l'ensemble des points de conflit entre attracteurs.
Pour visualiser ses caractéristiques on ne peut pas utiliser Geogebra. Dans Gnuplot on peut afficher la parabole semi-cubique d'équation 4y³+27x²=0 comme l'intersection de la courbe f(x,y)=4*y**3+27*x**2 avec le plan z=0

Donc on peut résumer les caractéristiques du potentiel standard correspondant à la catastrophe fronce déduites de l'étude de ses points critiques par ce tableau:

B est une parabole semi-cubique (définie par D(a,b)=0) dans le plan de contrôle (a,b).
On la décompose en deux branches B1 et B2.

Ensemble de bifurcation de F

Soit un point c de (a,b): * si x appartient à E, D > 0 , il n'y a donc qu'une racine réelle C à l'équation x3+ ax+b = 0 et cette racine C est un minimum de F (F = x4 + ux2 + vx). Il n'y a donc qu'un seul régime possible dans la boîte noire. * si x appartient à I, D < 0 , il n'y a donc trois racines réelles c1, c2 et c3 pour l'équation x3+ ax+b = 0 dont deux sont des minima (par exemple c1 et c2) et une est un maximum (c3). Il y a donc deux régimes stables en conflit dans la boîte noire. * si x appartient à B1 ou B2 (sauf en (0,0)), et donc pour D=0 mais aÇ0 et bÇ0, nous trouvons un minimum et un point d'inflexion. Cette parabole semi-cubique est un ensemble de points de bifurcation ou de points critiques où l'on peut passer brusquement d'un régime stable à un attracteur (E) à un régime stable à deux attracteurs (I). * en (0,0), origine de la bifurcation, pour D=0 et a=b=0, c1=c2=c3, il y a un minimum NON STABLE car au voisinage de ce point on passe d'un régime unique stable à deux régimes possibles (stables). (I) représente l'ensemble de Maxwell de F qui est l'ensemble des valeurs de a pour lesquelles F(x,u,v) présente au moins deux valeurs critiques égales. Remarque: la formule générale des racines de l'équation x3+ ax+b = 0 est: c = (-b/2 + (D/108)**1/2)**1/3 + (-b/2 - (D/108)**1/2)**1/3

Si on complète le schéma précédant avec les potentiels F (dans les cercles) associés à chacun des domaines de la courbe D dans le plan (a,b) on obtient une vue plus claire de la signification des racines de dF/dx=0 (points rouge et point rose avec une barre horizontale).

Lorsque plusieurs minima existent (reliés à plusieurs attracteurs comme en I, B1, B2), y-a-t-il des critères qui permettent de savoir quelle position est privilégiée et donc la PLUS STABLE ?

Deux conventions existent pour résoudre cette incertitude: la convention de Maxwell et la convention de retard.
Dans le premier cas il persiste une incertitude, dans le second elle disparaît.

* convention ou règle de Maxwell, arbitraire mais simple

Le point stable sera donc celui de potentiel minimal, par exemple c₁ si F( c₁) < F( c₂), dans le cas de deux racines c₁ et c₂ (domaine I).

La dénomination convention de Maxwell par René Thom vient de l'utilisation d'une règle similaire par Maxwell pour lever l'indétermination en v (volume) de l'équation de Van der Waals: F(p, v)=0 dans l'intervalle de pression (p) où l'on a trois racines réelles en v, ce qui décrit un mélange de phases gazeuses et liquides.

Cette convention conduit à considérer uniquement deux cas où un point peut être catastrophique (attention catastrophique ne veut dire ni instable ni stable, mais c'est un point où "il se passe quelque chose de discontinu sur le fond continu... lorsque l'on fait légèrement varier (on perturbe) les paramètres externes"):
- soit il y a un minimum de potentiel en deux points distincts; x est alors un point de conflit; Dans l'exemple ci-dessus l'ensemble des points de conflit ou strate de conflit ou encore ensemble de la fonction F pour laquelle F(c1)=F(c2), dépend des paramètres a et b, elle a le tracé en pointillé (3) sur la figure.
- soit le minimum de potentiel est unique mais cesse d'être stable: x est un point de bifurcation. Dans l'exemple ci-dessus O est un point de bifurcation. Avec les mots de Thom on peut dire que «la bifurcation engendre la catastrophe ». Cette remarque ouvre une réflexion sur la structure des attracteurs au voisinage du point de bifurcation. En effet le problème pour un expérimentateur qui désire PRÉVOIR le comportement d'un système au voisinage d'un point est de savoir quelle est la géométrie des attracteurs à son voisinage. Or il n'y a pas de réponse simple et certaines morphologies semblent bien avoir des structures simples mais on ne sait pas les justifier actuellement, ce qui fait qualifier par certains la théorie des catastrophes comme non expérimentale. Ce qui n'est pas faux. Mais si sa méthode relève plus de l'analogie que de la démonstration a posteriori, elle n'en est pas moins scientifique (pour une première approche on peut lire l'article d'Ivar Ekeland; vous pouvez aussi vous reporter à la page sur les différents niveaux d'observation du vivant).

Une excellente analogie est celle du modèle mécanique (une bille dans une forme dont la section verticale est celle de F ou encore un modèle hydraulique -comme celui présenté par Ivar Ekeland). Dans le cas de la convention de Maxwell on considère que la bille se situe toujours au point le plus bas (potentiel minimal). Il y a donc bien sûr une incertitude qui n'est pas levée dans le cas où les deux minima sont strictement égaux. On voit encore ici que la connaissance de l'état du système (causalité au sens scientifique d'une causalité efficiente, contenue dans le modèle) ne permet pas de prévoir le comportement du système (indéterminisme).

Vous pouvez voir le code de l'applet: cata3mx.java

* règle du retard ou du délai parfait (delay law)

Lorsque qu'un minimum est atteint cette valeur est conservée tant que ce minimum est stable, même si un autre minimum existe, qu'il soit de potentiel inférieur ou égal ou supérieur.

On notera que cette convention conduit à présenter le système comme ayant une mémoire puisque la morphologie de sortie (donc le minimum choisi du potentiel) dépend du chemin suivi pour l'atteindre. Selon le chemin suivi dans l'espace de contrôle (en u,v) on obtient donc des morphologies (x) différentes pour des mêmes valeurs des paramètres u et v (ce que vous pouvez tester par l'applet ci-contre).

Pour l'analogie mécanique (une bille dans une forme dont la section verticale est celle de F ou encore un modèle hydraulique -comme celui présenté par Ivar Ekeland) et dans le cas de la règle du retard, on considère que la bille se situe toujours au premier point stable atteint (sans inertie). La bille ne peut changer de place que si le minimum devient instable et qu'elle peut alors tomber dans un minimum situé plus bas. Il n'y a jamais d'incertitude de position de la bille.

Vous pouvez voir le code de l'applet: cata3rd.java

La catastrophe élémentaire associée au potentiel standard F = x⁴ + ux² + vx est la fronce (cusp en anglais) car l'ensemble des points catastrophiques dessine une fronce: elle obéit à l'équation dF/dx = 0 c'est-à-dire à l'équation algébrique du troisième degré 4x³+2ux+v = 0 ou x³+ ax+b = 0 (avec a=u/2 et b=v/4).

Les lignes de commande tapées dans Gnuplot pour obtenir la surface ci-contre (y=p₁ et z=p₂) sont:
set isosample 100,100
set ticslevel 0
set xlabel "x"
set ylabel "p1"
set zlabel "p2"
set xrange [-0.8:0.8]
set yrange [-0.5:0.5]
set zrange [-0.5:0.5]
splot -4*x**3-2*x*y

On peut fortement améliorer la représentation...

avec x, u et v appartenant à [-1,5; 1,5]

L'application Grapher est contenue dans le système Mac OS 10.4 et permet de tracer d'innombrables courbes en 2D et 3D et les visionner dans l'espace très facilement.

Cette image exportée n'est pas un fichier grapher et ne peut donc êre manipulée dans l'espace.

3. Extension à la structure des attracteurs ou des ensembles de bifurcation définissant les 7 catastrophes élémentaires

Avertissement:
Cette partie est assez difficile pour le professeur de SVT que je suis; je ne suis pas trop sûr de mes explications et je serai reconnaissant que l'on me signale mes erreurs ou incompréhensions (pierre point stouff at libertysurf point fr)

On représente les attracteurs dans ce que l'on appelle l'espace des phases (voir définition dans page complémentaire sur les modèles continus en SVT). On peut aussi représenter la caractéristique du système dans l'espace des morphologies que l'on peut aussi appeller espace des dynamiques (u,v..., x, y...). On ne peut représenter facilement que des espaces de dimension 2 ou plus difficilement 3. Pour la dimension 4, on utilise des sections. Dans un espace de dimension æ 3 l'attracteur a la forme d'un point, d'une droite, d'une courbe [x=f(u)], éventuellement fermée, ou d'une surface [x=f(u,v)]. (f désigne ici la fonction représentée par le potentiel F ou V).
Pour une discussion plus profonde des régulations en biologie voir René Thom, Vers une typologie des régulations, 1985, 5. In Concepts and Formalizations in the Control of Breathling, J. Demongeot et al. (eds.), Manchester University Press, 1987.

0

Soit une "dynamique" représentée par un potentiel V d'équation

La cinétique associée peut être celle d'un oscillateur harmonique non amorti (voir page sur le continu, 3.2 b).

Dans l'espace (x ,u) , la dynamique est représentée par une droite d'unique ordonnée x₀ (équation x(u)=x₀). u est un paramètre inopérant. Si u est le temps, la morphologie (x) est constante.

1

La première catastrophe correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel quadratique :

où u est encore un paramètre inopérant sur la forme du potentiel.

Dans l'espace des dynamiques (x,u), le potentiel est représenté par un pli.

L'attracteur unique prend la forme d'un segment de droite (ensemble de bifurcation) dans l'espace (x,dV/dx) et d'un cercle attracteur dans l'espace (x, dV/du).

L'ensemble de bifurcation est un point (u₀, 0) dans l'espace des dynamiques.

2

La deuxième catastrophe élémentaire correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel quadratique :

cette fois u et v sont des paramètres opérant sur la forme du potentiel.

Dans l'espace des dynamiques (x,u,v), le potentiel est représenté par une fronce.

Deux attracteurs s'affrontent (voir partie 2 ci-dessus).

L'ensemble de bifurcation est une parabole semi-cubique dans le plan de contrôle (u,v,0) dans l'espace des dynamiques (voir ci-dessus).

Variante:
Si l'on introduit un troisième paramètre w , on a toujours une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel quadratique de la forme : V(x,u, v, w) = x⁴ + ux² + vx + w ; cette fois, si u et v sont toujours des paramètres opérant sur la forme du potentiel, w est inopérant (pour l'observer entrer la fonction dans gogebra ou ci-dessous).

3

La troisième catastrophe élémentaire correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel de la forme :

u, v et w sont des paramètres opérant sur la forme du potentiel. w modifie la pente de la tangente au centre de gravité. Pour visualiser la forme du potentiel utilisez Geogebra ci-dessous par exemple.

Les points critiques où V / x = 0 soit 5x⁴ + 3ux² + 2vx+ w = 0 forment une surface représentée ci-contre.
Pour appréhender sa forme (in Stabilité, p 103) on étudie le discriminant (surface K) de cette équation à partir des points où elle admet une racine triple en x (soit ²V / x² =0 et ³V / x³ =0; soit 4x³+6ux+2v = 0 et 12x²+6u = 0 soit u = -2x², v = 9/2x³, et w = 4x⁴ définissant les points de R³ décrivant une courbe C (u, v, w) qui est l'arête de rebroussement de la surface K).

La forme de la surface des points critiques associés au potentiel V(x,u, v, w) est déduite progressivement des sections faites pour u=constante:
« - Pour u négatif, la section de K par un plan u = -2a²présente deux rebroussements symétriques par rapport à l'axe des v ; comme cette section est l'enveloppe d'une famille de droites à un paramètre x sans droite stationnaire, la courbe de section ne présente aucun point d'inflexion ; la seule forme possible de cette courbe est celle de la queue d'aronde.
- Pour u positif, il n'y a plus de rebroussements et la courbe de section est une courbe convexe simple. Si l'on part de u = -2a² et qu'on fasse croître u, le triangle curviligne formé par la queue d'aronde va en se rapetissant et se confond avec l'origine pour u = 0 ; la courbe section a alors un point de courbure infinie à l'origine. On notera que la surface K admet une courbe de self-intersection (algébriquement définie par v = 0, w = u² /4). Dans un modèle algébrique ou analytique, cette courbe double appartient en entier à la surface K ; par conséquent, pour u positif, la courbe de section de K présente un point double isolé ; une telle singularité n'a en général aucune signification dans nos modèles.» (stabilité, p 103)

in Thom, stabilité, p 104

« Examinons maintenant s'il peut exister des conflits de régime au voisinage d'une telle singularité; il faut pour cela que l'équation présente quatre racines réelles (sinon, on ne pourrait obtenir deux minima pour V). Il faudra donc se placer à l'intérieur du triangle curviligne de la queue d'aronde pour u<0. Comme l'un des rebroussements de ce triangle définit une catastrophe de Riemann-Hugoniot, on aura dans ce triangle une onde de choc, ligne de conflit entre les deux régimes qui, partant du rebroussement, aboutit en un point du côté opposé. C'est là,comme il est aisé de s'en convaincre, la seule possibilité topologique pour le partage des régimes. Si l'on suit la variation des sections lorsque u décroît, on peut ainsi décrire qualitativement la queue d'aronde. Pour u>0, on a une courbe-pli qui sépare un régime stable du régime vide (pas d'attracteurs); pour u=0, cette courbe présente à l'origine un point de courbure infinie et pour u négatif, il en sort deux rebroussements limitant un triangle curviligne en queue d'aronde. Il apparaît, à l'intérieur du triangle deux régimes séparés par une courbe joignant un des rebroussements au point double ou en un point pli, si on adopte la convention de Maxwell. La queue d'aronde a été depuis longtemps répertoriée en géométrie algébrique ; mais je ne pense pas que sa signification comme singularité stable des fronts d'onde, ait été clairement reconnue jusqu'à présent. On la trouve en Physique, dans la théorie des fronts d'onde dans les plasmas [9] et on l'a redécouverte tout récemment comme singularité des surfaces de Landau associées à certains diagrammes de Feynman. On peut d'ailleurs la réaliser assez facilement en optique géométrique classique comme singularité de caustiques. En embryologie, on proposera au chapitre 9 de considérer les extrémités du sillon blastoporique comme des queues d'aronde. » (in Stabilité, p 104-105)

4

La quatrième catastrophe élémentaire correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel de la forme :

u, v, w et t sont des paramètres opérant sur la forme du potentiel. Pour visualiser la forme du potentiel utilisez Geogebra ci-dessous par exemple.

le papillon

5

La cinquième catastrophe élémentaire correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel de la forme :

u, v et w sont toujours des paramètres opérant sur la forme du potentiel.

l'ombilic hyperbolique

6

La sixième catastrophe élémentaire correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel de la forme :

u, v et w sont toujours des paramètres opérant sur la forme du potentiel.

l'ombilic elliptique

7

La septième catastrophe élémentaire correspond à une dynamique de gradient X=-grad>(V), V étant un potentiel de la forme :

u, v , w et t sont toujours des paramètres opérant sur la forme du potentiel.

l'ombilic parabolique

 EN TRAVAUX

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