Quelles mathŽmatiques en SVT en classe de seconde ?



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Les mathŽmatiques sont un langage universel. Les scientifiques en ont besoin pour communiquer. Le fait que les chercheurs puissent tous se comprendre, gr‰ce aux mathŽmatiques, est un fondement du caractre scientifique de leur travail (au contraire de la magie... ou de la philosophie qui utilisent le langage ordinaire), bien davantage que l'expŽrience. Les SVT ont besoin des mathŽmatiques comme outil universel de la science.


Les mathŽmatiques doivent vous devenir familires.

Cette fiche provient d'un double constat:
- le niveau de mathŽmatiques des Žlves atteint des abysses tels que l'on ne peut plus utiliser en classe de seconde des graphiques sans y passer un temps dŽmesurŽ.
- avec l'utilisation de logiciels disparates et inadaptŽs, les Žlves sont incapables de construire un graphe et de tracer Ë LA MAIN une simple courbe qui modŽlise un phŽnomne.


Bien Žvidemment, vous avez le droit de ne pas trop aimer les maths et souhaiter pourtant continuer des Žtudes de biologie. Il y a de la place pour tous: mŽdecins, horticulteurs, agronomes, vŽtŽrinaires, mŽtiers de l'environnement, de l'agroalimentaire, du sport... Tous ces mŽtiers demandent au moins des bases de biologie. Mais vous admettrez que si vous dŽsirez vraiment comprendre la vie et faire de la recherche en biologie, il vous faut des outils universels et scientifiques. Pour la recherche les mathŽmatiques sont indispensables*.

La recherche biologique a besoin de jeunes esprits qui n'aient pas peur des maths.

Cette page fait appel ˆ des notions d'analyse (fonctions) et de gŽomŽtrie (reprŽsentation plane) toutes revues en classe de seconde en maths. (programme 2009 maths classe 2nde)


1. Des donnŽes expŽrimentales ˆ la reprŽsentation graphique

Les donnŽes expŽrimentales sont des mesures; elles sont obtenues avec une incertitude. La plupart des logiciels de reprŽsentation graphique (tableur-grapheur) sont des logiciels financiers et vous ne pouvez pas reprŽsenter l'incertitude ni choisir le type de modle de faon souple: il faut donc apprendre ˆ TRACER SES COURBES Ë LA MAIN. Les logiciels de mathŽmatiques (Geogebra par exemple ci-dessous) ne sont pas prŽvus pour des MESURES expŽrimentales et ne permettent pas d'utiliser les incertitudes, et encore moins une rŽgression. Pour un mathŽmaticien 1,000 et 1 c'est la mme chose ! Mais PAS pour un scientifique (la prŽcision de chaque chiffre correspond ˆ une certaine prŽcision de la mesure).
Un des seuls logiciels d'EXAO qui soit vraiment scientifique est
LoggerPro de la firme amŽricaine Vernier.


2. Tracer une courbe c'est faire l'hypothse d'une fonction sous-jacente au phŽnomne observŽ

Si l'on vous donne ou si vous obtenez par la mesure des points expŽrimentaux (et vous devez les avoir avec une incertitude), vous ne pouvez tracer une courbe qui corresponde au phŽnomne ŽtudiŽ que si vous supposez que le phŽnomne est reprŽsentŽ par cette courbe. En fait c'est un modle que vous tracez. Un modle plus ou moins fidle. Le modle met en relation les points expŽrimentaux. La relation c'est la fonction.


Une fonction c'est une application qui met en relation les ŽlŽments d'un espace de dŽpart avec ceux d'un espace d'arrivŽe.
Tracer un graphe c'est reprŽsenter la fonction dans un espace qui est le produit de l'espace "des entrŽes" (dit espace "de contr™le" ou "de dŽpart") par l'espace "des sorties" (ou espace "des phŽnomnes", ou "des observables" ou encore "d'arrivŽe").


En lycŽe (mme jusqu'en classe de terminale S) vous n'aurez qu'un espace ˆ 2 dimensions ; soit une entrŽe (x) - le paramtre; et une sortie (y) - la valeur de la fonction. Attention ! pour le biologiste comme pour le physicien, x et y sont des grandeurs mesurables qui s'expriment avec une incertitude. On voit bien ici que les termes de "paramtre de la fonction" et "valeur de la fonction", propres aux mathŽmatiques, sont UN MODéLE de la relation qui est supposŽe exister entre les grandeurs physiques. En lycŽe donc, toutes les courbes sont reprŽsentŽes dans un PLAN, mais vous comprendrez bien que si l'on veut modŽliser le vivant il faut s'attaquer ˆ des espaces de bien plus grande dimension et mme ˆ un espace de dimension infinie. Je vous rappelle qu'en biologie les fonctions globales sont les fonctions de nutrition, de relation et de reproduction. Elles ne sont pas simples et il est clair qu'il faut utiliser des espaces de grandes dimensions si on veut essayer de les approcher.


Bien choisir sa fonction


On choisit en SVT la fonction la plus SIMPLE possible et la plus RƒGULIéRE possible. Mais, attention, le biologiste n'oublie pas qu'il essaye de modŽliser le vivant et chaque fois que nŽcessaire il prŽcise les simplifications faites.

En assimilant une thŽorie ˆ une fonction on pourrait dire avec RenŽ Thom (SSM, p 36) que la quantitatif n'est pas toujours plus efficace que le qualitatif.
Par exemple (graphe B) si quantitativement (c'est-ˆ-dire numŽriquement) la droite f(x) permet de passer au plus prs des points expŽrimentaux, elle modŽlise trs mal la fonction biologique reprŽsentŽe sur le graphe.
La fonction h(x), quantitativement ŽloignŽe des points de mesure (car placŽe trop haut sur l'axe des y Žtant donnŽ la valeur de y0) est peut-tre une bien meilleure fonction (au sens qualitatif de thŽorie) pour modŽliser le phŽnomne reprŽsentŽ.



Le nouveau programme de la classe de seconde a multipliŽ les fonctions usuelles, mais en SVT, et en seconde, les deux premires SEULES sont essentielles.
fonction constante
f(x) = a
a = constante
la courbe est une droite horizontale d'ordonnŽe a
fonction polyn™me de degrŽ 1
f(x) = ax + b
a et b sont des constantes
la courbe est une
droite de pente a (pour deux points (x1,y1) et (x2,y2) la pente est dŽfinie par (y2-y1)/ (x2-x1) = a) et d'ordonnŽe ˆ l'origine b (si b=0, la droite passe par (0,0))

fonction inverse
cas particulier des fonctions puissance)
f(x) = x-1= 1 / x
la courbe est une hyperbole
fonctions polynomiales du second degrŽ
f(x) = ax2 + bx + c
a, b et c sont des rŽels
la reprŽsentation graphique est une parabole

fonctions homographiques

ax + b
______

h(x) =


cx + d


c ­ 0 et a, b, c et d rŽels
le graphe de la fonction est une hyperbole Žquilatre
Un petit grapheur Java trs commode

 


Pour s'habituer au vocabulaire des fonctions pŽriodiques: amplitude et pŽriode :
j(x) = fa . sin (fp . x) : fonction pŽriodique (de type sinuso•de)
avec deux paramtres : fa = paramtre modifiant l'amplitude et fp modifiant la pŽriode

3. Un peu de vocabulaire pour dŽcrire une courbe (non exhaustif)

Plus vous utiliserez un vocabulaire mathŽmatique prŽcis, mieux vous vous ferez comprendre.





OUI (ˆ utiliser)

NON (ˆ ne pas utiliser)

domaine de variation


- la fonction prend des valeurs de.... ˆ ....
- la variable (x) est comprise entre .... et
.....


la courbe va de ... ˆ ....

sens de variation


- la fonction est croissante / dŽcroissante entre.... et ....
- on observe une variation positive / nŽgative de y entre les valeurs .. et ....
- pour deux valeurs successives de x, y augmente / diminue de ....


- la courbe va en haut / en bas...
- la courbe est plus grande...
- la courbe est maximale /minimale

proportions, intensitŽ de la variation


- la pente de la droite est positive / nŽgative / nulle (courbe horizontale)
- la pente est minimale / maximale entre..... et ...
- la courbe varie trs fortement (trs rapidement si c'est le temps qui est en abscisses) ....
- la courbe prŽsente un maximum / minimum pour x = ...;


la courbe monte et descend, bouge, se dŽplace, revient, repart...

stabilitŽ, rŽgularitŽ


- la fonction varie rŽgulirement / irrŽgulirement
- la fonction est constante (stagne si le paramtre x est le temps) sur l'intervalle (x1... x2).


la courbe est continue / discontinue


*Ne croyez pas que l'on vous demande en lycŽe plus de mathŽmatiques qu'avant. Au contraire, il y a une incontestable dŽmathisation (ou dŽmathŽmatisation) de l'enseignement secondaire; quelques rŽfŽrences ˆ ce sujet:
- un article de 2004 de
Daniel Duverney : "RƒFLEXIONS SUR LA PLACE DES MATHƒMATIQUES DANS L'ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE"; l'auteur est Professeur de MathŽmatiques SpŽciales en ATS (classe prŽparatoire aux Žcoles d'ingŽnieurs rŽservŽe aux titulaires de BTS et de DUT industriels), H.D.R. Membre du Conseil d'Administration de la S.M.F.
- le rapport du Professeur Demailly:
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr /~demailly/ rapport.html
- les pages du Professeur Laurent Lafforgue, acadŽmicien et mŽdaillŽ Fields http://www.ihes.fr/% 7elafforgue/ education.html


Une page ˆ conseiller : http://svt.ac-creteil.fr/spip.php?article1634


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